Kako da iz koeficijenata odmah dobiješ zbir i proizvod korenova, pa iz njih gradiš dalje izraze i nove jednačine.
Matoteka · Centar znanja · Lekcija 21
Viètove formule
Ova lekcija je prelomna tačka u algebri: prvi put vidiš da o korenovima kvadratne jednačine možeš da govoriš bez njihovog direktnog računanja. Na prijemnom to znači manje računanja, više kontrole i mnogo brže rešavanje zadataka sa parametrima.
U zadacima o pozitivnim ili negativnim korenovima zaboravlja se uslov Δ ≥ 0, pa se pogrešno prihvate kompleksna rešenja.
FTN i ETF redovno traže simetrične izraze, nove jednačine sa transformisanim korenima i uslove na parametar.
50 do 70 minuta sa primerima i vežbom.
Standardni oblik kvadratne jednačine, faktorizacija i diskriminanta iz prethodne lekcije.
Prevođenje priče o korenovima u račun nad zbirom i proizvodom, bez nepotrebnog traženja samih korenova.
Canvas laboratorija koja povezuje položaj korenova, parabolu i koeficijente jednačine.
Brza navigacija
Kretanje kroz lekciju
Najstabilniji redosled je: zašto ova tema postoji, kako se nalazi modul i argument, kako se prelazi između oblika, pa tek onda Moivreova formula i koreni.
Zašto je ova lekcija važna
Viètove formule pretvaraju kvadratnu jednačinu u priču o odnosima među korenovima
U mnogim zadacima ne treba ti stvarna vrednost svakog korena. Treba ti njihov zbir, proizvod, znak, ili nova jednačina čiji su koreni povezani sa starim korenima. Upravo tu Viètove formule štede vreme i smanjuju verovatnoću greške.
Brže nego abc formula
Kada zadatak pita samo \(x_1+x_2\), \(x_1x_2\) ili izraz koji od njih zavisi, direktno računaš preko koeficijenata i preskačeš nepotreban posao.
Koreni i koeficijenti nisu odvojeni svetovi
Koeficijent uz \(x\) kontroliše zbir korenova, a slobodni član njihov proizvod. To je snažna mentalna slika za kasniju algebru.
Priprema za parametre i polinome
Isti princip ćeš kasnije koristiti kod parametarskih zadataka, nulâ polinoma i uslova na znak rešenja.
Ključni pedagoški uvid
Nemoj Viètove formule učiti kao dve izolovane formule. Uči ih kao ideju: iz faktorizacije dobijaš vezu između korenova i koeficijenata. Kad to razumeš, sve primene postaju prirodne.
Osnovna ideja i uslovi
Od faktorizacije do formule: odakle zapravo dolazi Viète
Ako kvadratna jednačina ax²+bx+c=0, a≠0, ima korenove x₁ i x₂, tada može da se napiše u faktorskom obliku. Kada uporediš koeficijente tog zapisa sa standardnim oblikom, formule izlaze same.
Faktorski oblik
\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\]
Ovde je presudno da je vodeći koeficijent ostao \(a\). Da si napisao samo \((x-x_1)(x-x_2)\), dobio bi moničnu jednačinu, a to nije uvek ista jednačina.
Kada raširiš zagrade
\[a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2\]
Sada uporedi koeficijente uz \(x\) i slobodni član sa jednačinom \(ax^2+bx+c\). Tu se pojavljuju zbir i proizvod korenova.
Zbir korenova
\[x_1+x_2=-\frac{b}{a}\]
Koeficijent uz \(x\) nosi informaciju o zbiru korenova, ali sa minus znakom.
Proizvod korenova
\[x_1x_2=\frac{c}{a}\]
Slobodni član i vodeći koeficijent zajedno određuju proizvod korenova.
Samo zbir ili proizvod
Ako zadatak traži samo \(x_1+x_2\) ili \(x_1x_2\), Viètove formule su dovoljne. Diskriminanta tada nije neophodna.
Znak realnih korenova
Ako zadatak pita da li su oba korena pozitivna ili negativna, moraš dodati i uslov \(\Delta \ge 0\), jer zbir i proizvod sami ne garantuju realnost.
Recipročni koreni
Ako praviš jednačinu sa korenima \(\frac{1}{x_1}\) i \(\frac{1}{x_2}\), obavezno proveri da \(x_1x_2\neq 0\), odnosno \(c\neq 0\).
Mini-provera: zašto uslovi x₁+x₂>0 i x₁x₂>0 nisu dovoljni za zaključak da su oba korena pozitivna?
Zato što korenovi možda uopšte nisu realni. Na primer, jednačina
\[x^2-2x+2=0\]
ima
\[x_1+x_2=2,\qquad x_1x_2=2,\]
ali je
\[\Delta = (-2)^2-4\cdot 1\cdot 2 = -4 < 0,\]
pa nema realne korenove. Zato u zadacima o znaku realnih korenova dodaješ i \(\Delta \ge 0\).
Simetrični izrazi sa korenima
Kada ne tražiš korenove, nego pametno računaš preko s i p
Najveći broj zadataka traži izraz koji je simetričan u x₁ i x₂. To znači da ne zavisi od toga koji koren zoveš prvi, a koji drugi. Takvi izrazi gotovo uvek mogu da se svedu na zbir s i proizvod p.
Kvadrati korenova
\[x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=s^2-2p\]
Ovo je verovatno najčešći prvi korak na prijemnom. Umesto da računaš svaki koren posebno, odmah koristiš identitet za kvadrat zbira.
Zbir recipročnih vrednosti
\[\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{s}{p}, \qquad p\neq 0\]
Kad god vidiš recipročnu transformaciju, prvo proveri da proizvod nije nula. Ako je jedan koren nula, recipročna vrednost ne postoji.
Kvadrat razlike korenova
\[(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=s^2-4p\]
Pazi: ova formula daje \((x_1-x_2)^2\), a ne odmah \(x_1-x_2\). Za samu razliku treba još da uzmeš koren i odrediš znak ako je redosled bitan.
Treći stepen korenova
\[x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=s^3-3ps\]
Ovo je dobar primer kako Viètove formule rade i u složenijim izrazima: čim izraz uspeš da svedeš na s i p, zadatak je praktično gotov.
Mini-provera: koji tip izraza se najlakše računa Viètovim formulama?
Najlakše se računaju simetrični izrazi, oni koji se ne menjaju ako zameniš \(x_1\) i \(x_2\). Na primer, \(x_1+x_2\), \(x_1x_2\), \(x_1^2+x_2^2\), \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\) i \(x_1^3+x_2^3\) jesu simetrični. Izraz \(x_1-x_2\) nije simetričan, pa se obično računa preko \((x_1-x_2)^2\).
Formiranje nove jednačine
Novi korenovi, ista logika: prvo nađi njihov zbir i proizvod
Kada zadatak traži jednačinu čiji su korenovi, na primer, x₁+2 i x₂+2 ili 1/x₁ i 1/x₂, ne tražiš prvo stare korenove. Direktno računaš novi zbir i novi proizvod.
Tri koraka koja rešavaju skoro sve zadatke
\[S'=y_1+y_2,\qquad P'=y_1y_2\]
\[t^2-S't+P'=0\]
Ovde su \(y_1\) i \(y_2\) novi korenovi, a \(t\) je promenljiva nove jednačine. Ako dobiješ razlomke, na kraju pomnoži celu jednačinu zajedničkim imeniteljem.
Ne računaj više nego što zadatak traži
Ovo je tipičan prijemni obrazac. Zadatak je napravljen tako da te navede da kreneš sa abc formulom, a u stvari traži samo malo algebarskog reda. Kad vidiš “nova jednačina”, odmah pomisli na \(S'\) i \(P'\).
1
Korenovi \(x_1+2\) i \(x_2+2\)
Neka su \(x_1\) i \(x_2\) korenovi jednačine \(x^2-5x+6=0\). Tada je \(s=5\), \(p=6\).
\[S'=(x_1+2)+(x_2+2)=s+4=9\]
\[P'=(x_1+2)(x_2+2)=p+2s+4=6+10+4=20\]
Zato je nova jednačina \(t^2-9t+20=0\).
2
Korenovi \(\frac{1}{x_1}\) i \(\frac{1}{x_2}\)
Neka su \(x_1\) i \(x_2\) korenovi jednačine \(3x^2-5x+2=0\). Tada je \(s=\frac{5}{3}\), \(p=\frac{2}{3}\).
\[S'=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{s}{p}=\frac{5}{2}\]
\[P'=\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{p}=\frac{3}{2}\]
Dakle, nova jednačina je \(t^2-\frac{5}{2}t+\frac{3}{2}=0\), odnosno \(2t^2-5t+3=0\).
3
Korenovi \(x_1^2\) i \(x_2^2\)
Neka su \(x_1\) i \(x_2\) korenovi jednačine \(x^2-6x+5=0\). Tada je \(s=6\), \(p=5\).
\[S'=x_1^2+x_2^2=s^2-2p=36-10=26\]
\[P'=x_1^2x_2^2=(x_1x_2)^2=p^2=25\]
Zato je nova jednačina \(t^2-26t+25=0\).
4
Korenovi \(2x_1-1\) i \(2x_2-1\)
Neka su \(x_1\) i \(x_2\) korenovi jednačine \(x^2-4x+1=0\). Tada je \(s=4\), \(p=1\).
\[S'=(2x_1-1)+(2x_2-1)=2s-2=6\]
\[P'=(2x_1-1)(2x_2-1)=4p-2s+1=4-8+1=-3\]
Nova jednačina je \(t^2-6t-3=0\).
Mini-provera: zašto u novoj jednačini najčešće pišemo t²-S't+P'=0, a ne opet sa x?
Možeš i sa \(x\), matematički je isto. Ali na papiru je preglednije da novu promenljivu označiš drugim slovom, na primer \(t\), da ne pomešaš stare korenove \(x_1,x_2\) sa promenljivom nove jednačine. To posebno pomaže u dužim zadacima sa parametrima.
Interaktivni deo
Laboratorija: pomeraj korenove i gledaj kako se menjaju koeficijenti
U ovoj laboratoriji ti direktno biraš korenove x₁ i x₂, kao i vodeći koeficijent a. Sistem zatim crta parabolu, računa pripadnu jednačinu i pokazuje kako se menja nova jednačina kada transformišeš korenove.
Podešavanja
Korenovi
Izabrana vrednost1
Izabrana vrednost2
Izabrana vrednost3
Polinom\[P(x)=x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\]
Faktorski zapis\[P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\]
Viete provera\[a=1,\ b=-6,\ c=11,\ d=-6\]\[x_1+x_2+x_3=6,\qquad -\frac{b}{a}=6\]\[x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=11,\qquad \frac{c}{a}=11\]\[x_1x_2x_3=6,\qquad -\frac{d}{a}=6\]
Kako da čitaš alat
Prvo gledaj raspored, pa formule. Ako korenovi postanu simetrični oko nule, odmah prati koje neparne koeficijente alat “gasi”.
Pedagoška napomena
Laboratorija koristi realne korenove. Osnovni stav algebre važi u kompleksnom skupu, ali za intuiciju je korisnije da ovde vidiš korenove na brojevnoj pravoj.
Prijemni signal
Traži skrivenu strukturu. Posebno obrati pažnju na simetriju, višestruke korenove i aritmetičku progresiju. To su najčešći “ulazi” u zadatak.
Kako da učiš iz ovog laboratorijuma
Pokušaj da prvo sam pogodiš šta će se desiti sa koeficijentima kada pomeriš korenove, pa tek onda proveri ekran. Ako vidiš da se koeficijenti menjaju na predvidiv način, upravo to i jeste poenta: Viètove formule su most između geometrijske slike i algebarskog računa.
Vođeni primeri
Od osnovnog računa do parametra: kako se zadaci rešavaju bez lutanja
U svakom primeru ide isti redosled: standardni oblik, prepoznavanje a, b, c, zatim zbir s, proizvod p, pa tek onda izraz ili uslov koji zadatak traži. Ovaj redosled treba da postane rutina.
1
Nađi \(x_1+x_2\), \(x_1x_2\) i \(x_1^2+x_2^2\) za \(2x^2-7x+3=0\)
Prvo čitamo koeficijente: \(a=2\), \(b=-7\), \(c=3\).
\[s=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{7}{2}, \qquad p=x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}\]
\[x_1^2+x_2^2=s^2-2p=\frac{49}{4}-3=\frac{37}{4}\]
Ovde nijednog trenutka nije bilo potrebe da nalaziš pojedinačne korenove. To je suština Viètove efikasnosti.
2
Formiraj jednačinu čiji su korenovi \(x_1+1\) i \(x_2+1\), ako su \(x_1\), \(x_2\) korenovi od \(x^2-5x+6=0\)
Iz početne jednačine dobijaš \(s=5\) i \(p=6\).
\[S'=(x_1+1)+(x_2+1)=s+2=7\]
\[P'=(x_1+1)(x_2+1)=p+s+1=6+5+1=12\]
Zato nova jednačina glasi
\[t^2-7t+12=0\]
3
Odredi \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\), ako su \(x_1\), \(x_2\) korenovi od \(3x^2-5x+2=0\)
Iz jednačine čitamo \(s=\frac{5}{3}\), \(p=\frac{2}{3}\). Pošto je \(p\neq 0\), recipročna transformacija ima smisla.
\[\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{s}{p}=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{5}{2}\]
Najčešća greška ovde je da se zaboravi uslov \(p\neq 0\).
4
Za koje \(m\) jednačina \(x^2-(m+1)x+m-2=0\) ima oba korena pozitivna?
Ovo je tipičan prijemni zadatak. Traže se realni pozitivni korenovi, pa treba kombinovati tri uslova.
\[s=m+1,\qquad p=m-2\]
\[s>0 \Rightarrow m>-1,\qquad p>0 \Rightarrow m>2\]
\[\Delta=(m+1)^2-4(m-2)=m^2-2m+9=(m-1)^2+8>0\]
Diskriminanta je uvek pozitivna, pa jedini preostali uslov ostaje \(m>2\). Dakle,
\[m>2\]
Ključne formule
Mali formular koji vredi držati u glavi na prijemnom
Nije cilj da mehanički pamtiš deset formula, nego da nekoliko osnovnih identiteta koristiš kao alat. Sledeće relacije pokrivaju većinu standardnih zadataka.
Zbir korenova
\[x_1+x_2=-\frac{b}{a}\]
Prva stvar koju računaš čim vidiš kvadratnu jednačinu.
Proizvod korenova
\[x_1x_2=\frac{c}{a}\]
Odmah ti govori mnogo i o znaku korenova.
Kvadrati korenova
\[x_1^2+x_2^2=s^2-2p\]
Najčešći izvedeni izraz.
Kvadrat razlike
\[(x_1-x_2)^2=s^2-4p\]
Dobar kad treba rastojanje između korenova ili provera jednakosti.
Recipročni zbir
\[\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{s}{p}, \qquad p\neq 0\]
Ne koristi se ako je jedan koren nula.
Novi zbir i novi proizvod
\[t^2-S't+P'=0\]
Čim nađeš \(S'\) i \(P'\), zadatak je praktično završen.
Česte greške
Ovde učenici najčešće gube poene
Viètove formule deluju kratko i bezopasno, pa zato baš ovde nastaju "sitne" greške koje ruše ceo zadatak. Vredi ih naučiti unapred, da ih na ispitu ne praviš iz navike.
Zaboravljen minus u zbiru
Za zbir važi \(-\frac{b}{a}\), a ne \(\frac{b}{a}\). Ovo je verovatno najčešća mehanička greška.
Zaboravljen uslov \(\Delta \ge 0\)
Kad tražiš pozitivne ili negativne realne korenove, zbir i proizvod nisu dovoljni.
Preskakanje standardnog oblika
Ako jednačina nije sređena u oblik \(ax^2+bx+c=0\), lako pogrešno pročitaš koeficijente.
Pogrešan novi proizvod
Kod novih korenova učenici često dobro izračunaju zbir, ali proizvod razviju prebrzo i pogreše u znaku.
Recipročni koreni kada je \(p=0\)
Ako je \(x_1x_2=0\), jedan od korenova je nula i recipročna vrednost ne postoji.
Mešanje \((x_1-x_2)^2\) i \(x_1-x_2\)
Formula daje kvadrat razlike. Ako zadatak traži samu razliku, moraš još da uzmeš koren i odrediš odgovarajući znak.
Veza sa prijemnim zadacima
Kako se tema pojavljuje na FTN-u, ETF-u i sličnim prijemnim ispitima
Na prijemnom se Viètove formule retko pitaju školski. Umesto toga, sakrivene su u zadacima sa parametrima, uslovima na znak korenova i formiranjem nove jednačine. Poenta je da prepoznaš strukturu zadatka.
Parametar i znak korenova
Najčešći obrazac: “odredi \(m\)tako da oba korena budu pozitivna” ili “oba negativna”. Tu ide obavezna trojka:
- \(\Delta \ge 0\)
- \(x_1+x_2>0\) za pozitivne, odnosno \(x_1+x_2<0\) za negativne
- \(x_1x_2>0\)
Nova jednačina sa transformisanim korenima
U ovim zadacima se proverava da li umeš da koristiš zbir i proizvod kao jezik transformacije, umesto da odmah krećeš na abc formulu. Brzina i preciznost ovde prave razliku.
Standardni oblik
Bez sređene jednačine nema pouzdanog čitanja koeficijenata. Ovo mora biti prvi refleks.
Šta zadatak zaista traži
Ako ne traži pojedinačne korenove, verovatno ni ne treba da ih računaš.
Da li postoje skriveni uslovi
Realni korenovi, recipročna vrednost ili ograničenje na znak često su važniji od samog računa.
Vežbe na kraju
Vežbaj kratko, ali ciljano
Rešavaj svaku vežbu istim redosledom. Ako preskočiš standardni oblik ili ne napišeš jasno šta su s i p, povećavaš šansu za grešku čak i kada znaš teoriju.
Vežba 1
Za jednačinu \(x^2-9x+14=0\) izračunaj \(x_1+x_2\), \(x_1x_2\) i \(x_1^2+x_2^2\).
Rešenje
\(s=9\), \(p=14\). Zatim
\[x_1^2+x_2^2=s^2-2p=81-28=53\]
Vežba 2
Ako su \(x_1\), \(x_2\) korenovi jednačine \(2x^2+x-3=0\), izračunaj \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).
Rešenje
Ovde je \(s=-\frac{1}{2}\), \(p=-\frac{3}{2}\), pa
\[\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{s}{p}=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}\]
Vežba 3
Formiraj jednačinu čiji su korenovi \(x_1-2\) i \(x_2-2\), ako su \(x_1\), \(x_2\) korenovi jednačine \(x^2-3x-4=0\).
Rešenje
Početno: \(s=3\), \(p=-4\).
\[S'=(x_1-2)+(x_2-2)=s-4=-1\]
\[P'=(x_1-2)(x_2-2)=p-2s+4=-4-6+4=-6\]
Nova jednačina je
\[t^2+t-6=0\]
Vežba 4
Formiraj jednačinu čiji su korenovi \(\frac{1}{x_1}\) i \(\frac{1}{x_2}\), ako su \(x_1\), \(x_2\) korenovi jednačine \(3x^2-5x+2=0\).
Rešenje
Početno: \(s=\frac{5}{3}\), \(p=\frac{2}{3}\), pa
\[S'=\frac{s}{p}=\frac{5}{2}, \qquad P'=\frac{1}{p}=\frac{3}{2}\]
Nova jednačina:
\[t^2-\frac{5}{2}t+\frac{3}{2}=0\]
odnosno
\[2t^2-5t+3=0\]
Vežba 5
Za koje \(m\) jednačina \(x^2-(m-3)x+m=0\) ima oba korena negativna?
Rešenje
Treba:
\[s=m-3<0,\qquad p=m>0,\qquad \Delta \ge 0\]
Iz prva dva uslova dobijamo \(0<m<3\). Dalje:
\[\Delta=(m-3)^2-4m=m^2-10m+9=(m-1)(m-9)\ge 0\]
Odavde sledi \(m\le 1\) ili \(m\ge 9\). U preseku sa \(0<m<3\) dobijamo
\[0<m\le 1\]
Vežba 6
Ako su \(x_1\), \(x_2\) korenovi jednačine \(x^2-6x+5=0\), formiraj jednačinu čiji su korenovi \(x_1^2\) i \(x_2^2\).
Rešenje
Ovde je \(s=6\), \(p=5\). Zatim:
\[S'=x_1^2+x_2^2=s^2-2p=36-10=26\]
\[P'=x_1^2x_2^2=p^2=25\]
Nova jednačina je
\[t^2-26t+25=0\]
Završni uvid
Najvažnije pitanje nije "koji su korenovi?", nego "šta o korenovima već znam?"
Kada u zadatku vidiš kvadratnu jednačinu, ne skači automatski na abc formulu. Prvo se zapitaj da li je dovoljno ono što već znaš iz koeficijenata: zbir, proizvod, znak, simetrični izraz ili nova jednačina. To je zreliji način razmišljanja i upravo to prijemni nagrađuje.
Najvažniji princip
\[\text{Ako uspeš da problem prevedeš na } s=x_1+x_2 \text{ i } p=x_1x_2\text{, najteži deo posla je uglavnom već urađen.}\]
Završni rezime
Šta moraš da poneseš iz ove lekcije
Ako ove ideje umeš da primeniš bez zastajkivanja, spreman si za većinu standardnih prijemnih zadataka koji uključuju Viètove formule.
1. Osnovne formule
Za \(ax^2+bx+c=0\), \(a\neq 0\), važi \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) i \(x_1x_2=\frac{c}{a}\).
2. Simetrični izrazi
Simetrični izrazi se svode na \(s=x_1+x_2\) i \(p=x_1x_2\), pa često nema potrebe da računaš pojedinačne korenove.
3. Diskriminanta
Kad zadatak traži znak realnih korenova, obavezno koristiš i diskriminantu: \(\Delta \ge 0\).
4. Nova jednačina
Kod nove jednačine najvažnije je izračunati novi zbir \(S'\) i novi proizvod \(P'\), pa zapisati \(t^2-S't+P'=0\).
5. Najčešće zamke
Minus u zbiru, zaboravljena diskriminanta i neproveren uslov \(p\neq 0\) kod recipročnih korenova.
6. Sledeći korak
Sledeći logičan korak u učenju je kvadratna nejednačina, gde se sve ovo kombinuje sa analizom znaka parabole.