Da rešiš bazne i složenije trigonometrijske nejednačine, pravilno zapišeš intervale rešenja i bez greške dodaš sve cikluse.
Matoteka · Centar znanja · Lekcija 41
Trigonometrijske nejednačine
Kod jednačina si tražio pojedinačne uglove. Kod nejednačina tražiš čitave lukove i intervale. Zato ovde nije dovoljno da pronađeš granične tačke. Moraš da razumeš gde je funkcija iznad, a gde ispod zadate vrednosti, kako radi perioda i kada krajnje tačke ulaze u rešenje.
Da nađeš samo granične uglove, ali ne odabereš pravi luk ili pogrešno zatvoriš krajeve kada menjaš znak nejednakosti.
Brza vizuelizacija na kružnici, svođenje linearnog oblika na jedan sinus i pažljivo presecanje sa intervalom iz zadatka.
95-120 minuta uz detaljnu teoriju, vođene primere, interaktivni deo i završne vežbe.
Lekcije 33-40: trigonometrijska kružnica, identiteti, osnovne i složenije trigonometrijske jednačine.
Da od granične jednačine dođeš do pravilno zapisanog skupa intervala i tačno odrediš koji krajevi pripadaju rešenju.
Canvas laboratorija za sin x, cos x, tan x i linearni oblik a sin x + b cos x, sa obojenim delovima skupa rešenja.
Brza navigacija
Kretanje kroz lekciju
Najstabilniji redosled je: zašto ova tema postoji, kako se nalazi modul i argument, kako se prelazi između oblika, pa tek onda Moivreova formula i koreni.
Zašto je ova lekcija važna
Ovde prvi put ozbiljno prelaziš sa pojedinačnih rešenja na čitave skupove rešenja
Trigonometrijske nejednačine su važan korak jer te teraju da trigonometriju ne vidiš samo kao račun, nego kao geometrijsku sliku i znak funkcije. Na prijemnom to znači da više ne dobijaš poene za puko pamćenje formule, već za to da razumeš gde je funkcija pozitivna, veća od neke granice ili između dve vrednosti.
Za prelaz sa jednakosti na znak
Kod jednačine tražiš gde je funkcija jednaka nuli ili nekoj vrednosti. Kod nejednačine moraš da znaš šta se dešava između tih graničnih tačaka. To je suštinski novi nivo razumevanja.
Za zadatke sa intervalom
Veliki broj prijemnih zadataka traži rešenje na intervalu \([0,2\pi]\), \([-\pi,\pi]\) ili nekom drugom ograničenom opsegu. Ako pogrešno dodaš periode ili zaboraviš da presečeš domen, gubiš poene iako si bio blizu.
Za kasniju analizu funkcija
Znak funkcije, intervali monotonosti i preseci sa zadatim nivoom javljaju se i kasnije u analizi. Ova lekcija te uči da čitaš funkciju po intervalima, što je važno daleko van same trigonometrije.
Ključna pedagoška ideja
Granična jednačina samo obeležava ivice. Pravo rešenje dobijaš tek kada izabereš ispravne intervale između tih ivica ili njihov komplement.
Intuicija i kružnica
Zašto nejednačina na kružnici daje lukove, a na realnoj osi intervale
Najbrže razumevanje dolazi kada spojiš dve slike: jediničnu kružnicu i graf funkcije. Na kružnici vidiš koje tačke imaju dovoljnu ordinatu ili apscisu. Na grafiku vidiš na kojim delovima perioda funkcija leži iznad ili ispod zadate granice.
Sinus i kosinus na kružnici
- \(\sin x\) je ordinata tačke na jediničnoj kružnici.
- \(\cos x\) je apscisa te iste tačke.
- Zato \(\sin x \ge a\) znači: zadrži tačke kružnice koje leže iznad horizontale \(y=a\).
- Slično, \(\cos x < a\) znači: zadrži deo kružnice levo od vertikale \(x=a\).
Zašto prvo rešavaš jedan period
- Sinus i kosinus imaju periodu \(2\pi\), a tangens periodu \(\pi\).
- Ako znaš rešenje na jednom osnovnom periodu, znaš obrazac za sve ostale.
- Zato je standardni redosled: jedan period, pa dodavanje svih ciklusa, pa presecanje sa zadatim intervalom.
- Ovaj redosled sprečava da previdiš čitavu jednu porodicu rešenja.
Od jednačine do nejednačine
\[\sin x = a \Rightarrow \text{tačke},\qquad \sin x > a \Rightarrow \text{lukovi}\]
Jednakost određuje preseke sa zadatom pravom, a nejednačina bira deo između tih preseka ili njegov komplement.
Strogo ili nestrogo
\[>,\ < \Rightarrow \text{otvoreni krajevi},\qquad \ge,\ \le \Rightarrow \text{zatvoreni krajevi}\]
Ovo deluje sitno, ali je jedna od najčešćih formalnih grešaka na prijemnom.
Sinus i kosinus
\[|\sin x|\le 1,\qquad |\cos x|\le 1\]
Ako je desna strana van intervala \([-1,1]\), često možeš odmah zaključiti da rešenja nema ili da su sva realna \(x\) dozvoljena.
Tangens
\[\tan x \text{ je strogo rastuća na }\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)\]
Zato kod tangensa radiš po granama između asimptota, a ne preko cele kružnice odjednom.
Skup rešenja
\[S=S_0+2k\pi \quad \text{ili} \quad S=S_0+k\pi\]
Skup \(S_0\) je rešenje na jednom periodu. Tek posle njega dodaješ sve pomeraje odgovarajuće periode.
Radni algoritam
\[\text{granična jednačina} \to \text{test intervala} \to \text{svi ciklusi} \to \text{presek sa domenom}\]
Ovaj obrazac drži ceo postupak pod kontrolom i sprečava najčešće greške.
Mikro-provera: zašto sin x = 1/2 daje dve tačke, a sin x > 1/2 ceo luk?
Zato što jednakost označava samo preseke sa horizontalom \(y=\frac{1}{2}\), dok stroga nejednačina bira sve tačke čija je ordinata veća od \(\frac{1}{2}\). Na kružnici to više nije skup izolovanih tačaka nego čitav luk između preseka.
Osnovni oblici
Kako rešavaš nejednačine za sin x, cos x i tan x
Bazni oblici su osnova svega ostalog. Ako njih vidiš sigurno, onda i složeniji zadaci postaju pregledni jer se gotovo uvek svode upravo na jedan od ovih modela.
Sinus i kosinus: granična jednačina pa izbor luka
Kada rešavaš
\[\sin x \ge a \quad \text{ili} \quad \cos x < a,\]
najpre rešavaš odgovarajuću jednačinu \(\sin x=a\) ili \(\cos x=a\). Time dobijaš granične uglove na jednom periodu.
Zatim na kružnici ili grafiku biraš deo gde je funkcija iznad, odnosno ispod zadate vrednosti.
Tangens: radiš po granama između asimptota
Kod
\[\tan x > a \quad \text{ili} \quad \tan x \le a\]
oslanjaš se na to da je tangens strogo rastući na svakoj grani između dve susedne asimptote.
To znači da posle granične jednačine \(\tan x=a\) odmah znaš da li uzimaš levi ili desni deo svake grane.
1
Reši graničnu jednačinu
Na primer, iz \(\sin x \ge \frac{1}{2}\) prvo izvlačiš \(\sin x=\frac{1}{2}\). To su tačke na kojima skup rešenja može da promeni oblik.
2
Posmatraj jedan osnovni period
Za sinus i kosinus to je najčešće \([0,2\pi)\), a za tangens prirodno radiš po intervalima dužine \(\pi\) između asimptota.
3
Odaberi tačne intervale, ne samo krajnje tačke
Proveri da li je funkcija veća, manja, barem jednaka ili najviše jednaka zadatoj vrednosti. Tu zaista biraš skup rešenja.
4
Odredi otvorene i zatvorene krajeve
Strogi znaci \(>\) i \(<\) ne uključuju granične uglove. Nestrogi znaci \(\ge\) i \(\le\) ih uključuju, ali samo ako je funkcija u tim tačkama definisana.
5
Dodaj sve cikluse i preseci zadati domen
Na kraju pišeš rešenje za sva \(k\in\mathbb{Z}\), a zatim po potrebi uzimaš samo one delove koji upadaju u domen zadatka.
Za sinus i kosinus koristi sliku
Kada se dvoumiš koji interval treba uzeti, skiciraj malu kružnicu. Često jedna dobra skica ukloni više grešaka nego pola stranice računa.
Tangens ima periodu pi
Zato kod tangensa pišeš \(k\pi\), a ne \(2k\pi\). Ova mala razlika menja polovinu skupa rešenja.
Mikro-provera: zašto kod tan x > a desni kraj intervala ne može biti pi/2 + k*pi sa zatvorenom zagradom?
Zato što tangens u tačkama \(\frac{\pi}{2}+k\pi\) nije definisan. Čak i kada rešavaš nestrogu nejednačinu, tačke u kojima funkcija ne postoji nikada ne mogu pripadati skupu rešenja.
Svođenja i znak
Složenije nejednačine rešavaš tek kada ih vratiš na poznat oblik
Na prijemnom ne dolazi uvek čist oblik sin x >= a. Često dobiješ proizvod, količnik, linearni zbir a sin x + b cos x ili homogeni izraz drugog stepena. U svakom od tih slučajeva cilj je isti: da zadatak vratiš na baznu nejednačinu koju umeš da čitaš po periodama.
Linearni oblik i pomoćni ugao
Izraz \(a\sin x+b\cos x\) sabijaš u jedan sinus:
\[R\sin(x+\varphi).\]
Tada linearna nejednačina postaje obična nejednačina za sinus sa pomerenim argumentom, a amplituda \(R\) odmah daje prvu kontrolu da li rešenja uopšte mogu postojati.
Proizvodi, količnici i homogeni oblici
Kada na levoj strani imaš proizvod ili količnik, tražiš kritične tačke na kojima izraz postaje nula ili nije definisan. Zatim na intervalima između njih proveravaš znak.
Homogeni izrazi drugog stepena često se posle deljenja sa \(\cos^2 x\) ili \(\sin^2 x\) svode na kvadratnu nejednačinu po \(\tan x\), ali taj korak radiš tek pošto proveriš izgubljene slučajeve.
Amplituda
\[R=\sqrt{a^2+b^2}\]
Broj \(R\) je maksimalna apsolutna vrednost izraza \(a\sin x+b\cos x\). Zato odmah proveravaš da li je desna strana uopšte dostižna.
Pomoćni ugao
\[\cos\varphi=\frac{a}{R},\qquad \sin\varphi=\frac{b}{R}\]
Ugao \(\varphi\) nije trik nego precizno podešen pomeraj koji pretvara zbir dva trigonometrijska člana u jedan pomeren talas.
Glavna transformacija
\[a\sin x+b\cos x\,\square\,c \Longleftrightarrow R\sin(x+\varphi)\,\square\,c\]
Simbol \(\square\) ovde predstavlja jedan od znakova \(>\,,<\,,\ge\,,\le\). Posle transformacije radiš baznu nejednačinu za sinus.
Znaci proizvoda
\[f(x)\cdot g(x)\ge 0 \Longleftrightarrow f(x)\text{ i }g(x)\text{ imaju isti znak}\]
U ovim zadacima kritične tačke su nule činilaca. Posle njihovog pronalaženja praviš tabelu znaka ili proveravaš probnim tačkama po intervalima.
Količnik
\[\frac{f(x)}{g(x)}\ge 0 \Rightarrow g(x)\ne 0\]
Tačke u kojima je imenilac nula nikada ne ulaze u rešenje, čak i kada znak nejednakosti nije strog.
Homogena nejednačina
\[A\sin^2 x+B\sin x\cos x+C\cos^2 x\,\square\,0 \Rightarrow At^2+Bt+C\,\square\,0,\quad t=\tan x\]
Ovo je snažna tehnika, ali tek pošto proveriš šta se dešava kada je činilac kojim deliš jednak nuli.
Brzo pravilo za pamćenje
Prvo tražiš kritične tačke, ali skup rešenja nikada ne zaključuješ samo iz njih. Znak moraš proveriti na svakom dobijenom intervalu.
Vođeni primeri
Primeri su složeni tako da naučiš i sliku i formalni zapis
U svakom primeru gledaj isti redosled: granična jednačina, izbor pravog dela perioda i konačan zapis skupa rešenja. Kada god je moguće, poveži račun sa malom mentalnom slikom kružnice ili grafa.
Primer 1: reši nejednačinu \(\sin x \ge \frac{1}{2}\)
Ovo je polazni model. Važno je da vidiš kako se iz dve granične tačke dobija ceo zatvoren interval na jednom periodu.
1
Reši graničnu jednačinu.
\[\sin x=\frac{1}{2}\]
2
Nađi granične uglove na jednom periodu.
Na intervalu \([0,2\pi)\) dobijaš uglove
\[x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{5\pi}{6}.\]
3
Izaberi pravi deo perioda.
Pošto tražiš \(\sin x \ge \frac{1}{2}\), na kružnici uzimaš sve tačke iznad horizontale \(y=\frac{1}{2}\), dakle luk između ta dva ugla.
\[x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]\]
4
Zapiši opšte rešenje.
\[x\in\left[\frac{\pi}{6}+2k\pi,\frac{5\pi}{6}+2k\pi\right],\qquad k\in\mathbb{Z}\]
Tipična greška
Tipična greška je da se napišu samo krajnje tačke \(\frac{\pi}{6}\) i \(\frac{5\pi}{6}\), a ne ceo interval između njih.
Primer 2: reši nejednačinu \(\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ovde se lepo vidi razlika između strogih i nestrogih znakova, kao i izbor „levog” dela kružnice.
1
Reši graničnu jednačinu.
\[\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]
2
Nađi granične uglove.
\[x=\frac{5\pi}{6},\qquad x=\frac{7\pi}{6}\]
3
Izaberi deo između, ali bez krajeva.
Pošto tražiš \(\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}\), biraš deo između ovih uglova, ali bez samih krajnjih tačaka:
\[x\in\left(\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right)\]
4
Zapiši opšte rešenje.
\[x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\frac{7\pi}{6}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}\]
Napomena o strogom znaku
Strogi znak \(<\) znači da granične tačke ne ulaze, iako ih jednačina \(\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) uredno daje.
Primer 3: reši nejednačinu \(\tan x>1\) na intervalu \([-\pi,2\pi]\)
Ovaj primer uči disciplini po granama, jer tangens ne posmatraš preko cele kružnice odjednom.
1
Reši graničnu jednačinu.
\[\tan x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi\]
2
Posmatraj svaku granu.
Na svakoj grani \(\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)\) tangens je strogo rastući.
3
Uzmi desni deo svake grane.
\[x\in\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right)\]
4
Preseci sa zadatim intervalom.
\[\left(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{2}\right),\quad \left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right),\quad \left(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right)\]
Primer 4: reši nejednačinu \(\sin x+\cos x\ge 1\)
Ovo je tipičan prijemni model gde bazni oblik ne vidiš odmah, nego ga prvo praviš pomoćnim uglom.
1
Izračunaj amplitudu.
\[R=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\]
2
Napiši izraz kao jedan sinus.
Pošto važi \(\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\), dobijaš:
\[\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\]
3
Reši baznu nejednačinu.
\[\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ge \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
Za promenljivu \(y=x+\frac{\pi}{4}\) dobijaš
\[y\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]+2k\pi\]
4
Vrati pomeraj.
\[x\in\left[2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right],\qquad k\in\mathbb{Z}\]
Najčešća greška
Posle pomoćnog ugla ne zaboravljaš da vratiš pomeraj \(\frac{\pi}{4}\). To je najčešća greška kod linearnog oblika.
Primer 5: reši nejednačinu \(\sin x(\sin x-\cos x)\le 0\) na \([0,2\pi)\)
Ovo je model za tabelu znaka. Nije dovoljno rešiti po jedan činilac; moraš da spojiš njihove znakove.
1
Nađi kritične tačke.
\[\sin x=0 \Rightarrow x=0,\pi\]
\[\sin x-\cos x=0 \Rightarrow \tan x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\]
2
Rasporedi tačke na periodu.
\[0,\ \frac{\pi}{4},\ \pi,\ \frac{5\pi}{4}\]
3
Proveri znak proizvoda po intervalima.
Na primer, za \(x=\frac{\pi}{8}\) proizvod je negativan, a za \(x=\frac{\pi}{2}\) pozitivan.
4
Zapiši rešenje.
\[x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\cup\left[\pi,\frac{5\pi}{4}\right]\]
Ovde je važno da su nule oba činioca uključene, jer je znak nejednakosti nestrog.
Primer 6: reši nejednačinu \(2\sin^2 x-3\sin x\cos x+\cos^2 x\le 0\) na \([0,2\pi)\)
Ovo je napredniji prijemni model koji se prirodno nadovezuje na prethodnu lekciju o homogenim jednačinama.
1
Proveri poseban slučaj.
Najpre proveravaš poseban slučaj \(\cos x=0\). Tada leva strana postaje \(2\), pa te tačke nisu rešenja.
2
Podeli sa cos^2 x.
\[2\tan^2 x-3\tan x+1\le 0\]
3
Faktorisanje i rešenje.
\[(2\tan x-1)(\tan x-1)\le 0\]
\[\frac{1}{2}\le \tan x\le 1\]
4
Preseci sa zadatim intervalom.
Na svakoj grani tangensa, zbog monotonosti, dobijaš:
\[x\in\left[\arctan\frac{1}{2},\frac{\pi}{4}\right]\cup\left[\pi+\arctan\frac{1}{2},\frac{5\pi}{4}\right]\]
Česte greške
Ovde studenti najčešće gube poene
U ovoj lekciji greške retko dolaze zato što je račun pretežak. Češće dolaze zato što slika nije bila jasna ili zapis intervala nije vođen dovoljno strogo.
Upisuju se samo granične tačke
Učenik pravilno reši jednačinu \(\sin x=a\), ali ostane na dva ugla umesto da zapiše ceo interval između njih ili njegov komplement.
Mešaju se otvoreni i zatvoreni krajevi
Najčešća formalna greška je da se isti krajevi prepisuju i za \(>\) i za \(\ge\), iako to menja skup rešenja.
Pogrešna perioda
Kod tangensa se piše \(2k\pi\) umesto \(k\pi\), pa polovina rešenja izostane. To je klasična ispitna zamka.
Asimptota se tretira kao dozvoljena tačka
Kod tangensa i kotangensa učenik zna raspored intervala, ali zaboravi da tačke u kojima funkcija nije definisana nikad ne ulaze u rešenje.
Znak proizvoda nije stvarno proveren
Kod proizvoda ili količnika učenik odredi nule činilaca, ali ne proveri znak na dobijenim intervalima, pa napamet uzme pogrešne delove.
Nije vraćen pomeraj posle pomoćnog ugla
Dobije se nejednačina za \(\sin(x+\varphi)\), ali se zaboravi poslednji korak, pa rešenje ostane zapisano za pogrešnu promenljivu.
Veza sa prijemnim zadacima
Kako se ova tema stvarno pojavljuje na testu
Na prijemnom trigonometrijske nejednačine često izgledaju kratko, ali su pune formalnih zamki. Poeni se ne gube samo na ideji nego i na nepotpunom zapisu skupa rešenja.
Čisti bazni oblici
Zadatak može biti samo \(\sin x \ge a\) ili \(\cos x < a\), ali se od tebe očekuje da brzo i sigurno vidiš odgovarajući deo perioda bez dugog računa.
Linearna svođenja
Vrlo su česti zadaci tipa \(a\sin x+b\cos x \ge c\). U njima se proverava da li umeš da uvedeš pomoćni ugao i zatim čitaš rezultat kao baznu nejednačinu.
Znaci proizvoda i količnika
Kada je nejednačina faktorisana, zadatak proverava da li znaš da radiš tabelu znaka u trigonometrijskom okruženju, sa periodama i eventualnim zabranjenim tačkama.
Ograničeni domen
Čest zahtev je da rešavaš na \([0,2\pi]\), \([-\pi,\pi]\) ili \([0,4\pi]\). Tu se vidi da li umeš da prevedeš opšti obrazac u konkretan presek sa domenom.
Mini-checklista za ispit
1. Koja je granična jednačina? 2. Koji delovi perioda zadovoljavaju znak? 3. Da li su krajevi otvoreni ili zatvoreni? 4. Koja je perioda? 5. Koji deo ostaje posle preseka sa traženim intervalom?
Vežbe
Vežbaj dok izbor intervala ne postane siguran
Probaj najpre bez rešenja. Tek kada odrediš granične tačke i pretpostaviš pravi deo perioda, proveri detaljno rešenje ispod.
Zadatak 1
Reši nejednačinu \(\sin x < -\frac{1}{2}\).
Rešenje
Granična jednačina je \(\sin x=-\frac{1}{2}\), pa na jednom periodu dobijaš
\[x=\frac{7\pi}{6},\qquad x=\frac{11\pi}{6}.\]
Pošto tražiš strogu nejednačinu, uzimaš otvoreni luk između tih uglova:
\[x\in\left(\frac{7\pi}{6}+2k\pi,\frac{11\pi}{6}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.\]
Zadatak 2
Reši nejednačinu \(\cos x \ge 0\) na intervalu \([0,2\pi]\).
Rešenje
Kosinus je nenegativan u I i IV kvadrantu. Zato na traženom intervalu dobijaš
\[x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right].\]
Zadatak 3
Reši nejednačinu \(\tan x \le \sqrt{3}\).
Rešenje
Granična jednačina je \(\tan x=\sqrt{3}\), pa je
\[x=\frac{\pi}{3}+k\pi.\]
Pošto je tangens rastući na svakoj grani, dobijaš
\[x\in\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{3}+k\pi\right],\qquad k\in\mathbb{Z}.\]
Zadatak 4
Reši nejednačinu \(2\sin x+2\cos x>2\).
Rešenje
Prvo sabijaš izraz:
\[2\sin x+2\cos x = 2\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).\]
Nejednačina postaje
\[\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\]
Zato je
\[x\in\left(2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.\]
Zadatak 5
Reši nejednačinu \(\cos x(2\sin x-1)\ge 0\) na intervalu \([0,2\pi)\).
Rešenje
Kritične tačke su
\[\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\]
i
\[2\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}.\]
Posle provere znaka po intervalima dobijaš
\[x\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right].\]
Zadatak 6
Reši nejednačinu \(3\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x>0\) na intervalu \([0,2\pi)\).
Rešenje
Najpre proveravaš \(\cos x=0\). Tada je izraz jednak \(3\), pa te tačke jesu rešenja.
Za \(\cos x\ne 0\) deliš sa \(\cos^2 x\) i dobijaš
\[3\tan^2 x+\tan x-2>0.\]
Faktorisanje daje \((3\tan x-2)(\tan x+1)>0\), pa je
\[\tan x< -1 \quad \text{ili} \quad \tan x>\frac{2}{3}.\]
Na intervalu \([0,2\pi)\) to daje
\[x\in\left(\arctan\frac{2}{3},\frac{\pi}{2}\right]\cup\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(\pi+\arctan\frac{2}{3},\frac{3\pi}{2}\right]\cup\left(\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}\right)\]
Posebno obrati pažnju da su \(\frac{\pi}{2}\) i \(\frac{3\pi}{2}\) uključeni jer originalna nejednačina u tim tačkama važi, iako je deljenje sa \(\cos^2 x\) tamo zabranjeno.
Završni rezime
Šta moraš da poneseš iz ove lekcije
Ako sledeće ideje postanu automatske, trigonometrijske nejednačine više neće delovati kao skup nasumičnih trikova nego kao pregledan sistem.
1. Granična jednačina samo određuje ivice
Pravi posao počinje tek posle nje, kada biraš gde je funkcija veća, manja ili jednaka traženoj vrednosti.
2. Jedan period rešavaš pažljivo, pa ga ponavljaš
Za sinus i kosinus dodaješ \(2k\pi\), a za tangens \(k\pi\). To je standardni most od slike ka opštem rešenju.
3. Krajnje tačke nikad ne prepisuješ mehanički
Strogi i nestrogi znaci, kao i tačke nedozvoljenosti, direktno određuju koje zagrade dolaze u zapisu.
4. Složeniji oblici se svode na bazne
Pomoćni ugao, faktorizacija i homogena smena nisu cilj sami po sebi, nego alati koji te vraćaju na poznatu nejednačinu za \(\sin x\), \(\cos x\) ili \(\tan x\).
Završni uvid
Ključna poruka
Trigonometrijska nejednačina se ne rešava pronalaženjem nekoliko lepih uglova, nego čitanjem ponašanja funkcije između tih uglova.
Najvažniji princip
Kada jednom počneš da misliš u intervalima, ova tema postaje mnogo stabilnija i korisnija za prijemni.