Kako da dugačke trigonometrijske sume sabiješ u proizvod, a proizvode vratiš u zbir kada je to korisnije za račun.
Matoteka · Centar znanja · Lekcija 37
Transformacije zbira u proizvod i obrnuto
Kada na prijemnom vidiš dugačak zbir sinusa ili kosinusa, često nije problem u tome što je izraz težak, nego što još nije spakovan u pravi oblik. Ova lekcija te uči upravo tome: kako da zbir pretvoriš u proizvod radi faktorizacije i skraćivanja, i kako da proizvod pročitaš unazad kada ti treba zbir ili razlika uglova.
Učenici zapamte raspored slova, ali ne razumeju da se sve vrti oko srednjeg ugla i polurazlike, pa zaborave faktor 2 ili znak minus.
Tipični zadaci traže faktorizaciju jednačine, skraćivanje razlomka ili prepoznavanje da je proizvod zapravo skriven zbir pogodniji za dalji rad.
80 do 110 minuta ako detaljno prođeš i interaktivni deo i prijemne zadatke.
Adicioni teoremi, trigonometrijska kružnica i osnovne vrednosti za standardne uglove.
Prepoznavanje kada izraz treba faktorizovati, a kada ga treba prevesti u zbir ili razliku uglova.
Canvas laboratorija za srednji ugao i polurazliku sa numeričkom proverom obe strane identiteta.
Brza navigacija
Kretanje kroz lekciju
Najstabilniji redosled je: zašto ova tema postoji, kako se nalazi modul i argument, kako se prelazi između oblika, pa tek onda Moivreova formula i koreni.
Zašto je ova lekcija važna
Ova lekcija pretvara „dug izraz" u oblik sa kojim možeš nešto konkretno da uradiš
Na prijemnom te retko ruši sama formula. Mnogo češće te ruši trenutak u kom ne prepoznaš da zbir treba rastaviti na faktore ili da proizvod treba vratiti u zbir kako bi se uklopio sa ostatkom zadatka. Zato je tema važna: menja oblik izraza tako da problem postane rešiv.
Za jednačine
Zbir poput \(\sin 5x+\sin x\) teško je rešavati direktno, ali posle transformacije postaje proizvod i odmah dobijaš faktore.
Za skraćivanje
U razlomku se često pojavljuje ista struktura u brojniku i imeniocu. Transformacija otkriva zajednički faktor koji pre toga nisi video.
Za kombinovanje izraza
Kada imaš proizvod kao \(\sin 4x \cos x\), obrnuta formula ga vraća u zbir i omogućava da ga spojiš sa drugim sinusima ili kosinusima.
\[\sin 5x+\sin x=2\sin 3x\cos 2x, \qquad \cos 7x-\cos 3x=-2\sin 5x\sin 2x.\]
Mikro-provera: zašto je proizvod često bolji oblik kada rešavaš jednačinu?
Zato što proizvod jednak nuli odmah daje razdvajanje na slučajeve. Ako dobiješ \(2\sin 3x \cos 2x = 0\), onda rešavaš zasebno \(\sin 3x = 0\) i \(\cos 2x = 0\). To je mnogo preglednije nego da ostaneš na zbiru \(\sin 5x + \sin x = 0\).
Intuitivno tumačenje
Sve se svodi na srednji ugao i polurazliku
Najvažniji pedagoški uvid ove lekcije je sledeći: dva ugla \(\alpha\) i \(\beta\) možeš posmatrati kao simetrična odstupanja od nekog srednjeg ugla. Kada to uradiš, formule prestaju da budu spisak za bubanje i postaju logična posledica adicionih teorema.
Sredina
Uzmi \(m=\frac{\alpha+\beta}{2}\). To je ugao koji leži tačno između \(\alpha\) i \(\beta\).
Odstupanje
Uzmi \(d=\frac{\alpha-\beta}{2}\). To govori koliko je svaki od uglova udaljen od sredine.
Nova slika
Tada važi \(\alpha=m+d\) i \(\beta=m-d\). Upravo zato se u formulama stalno pojavljuju polusuma i polurazlika.
\[m=\frac{\alpha+\beta}{2}, \qquad d=\frac{\alpha-\beta}{2}, \qquad \alpha=m+d,\ \beta=m-d.\]
Kako nastaje formula za \(\sin\alpha+\sin\beta\)
Ne kreći od gotove formule. Kreni od zamene \(\alpha=m+d\), \(\beta=m-d\), pa razvij oba sabirka pomoću adicionih teorema.
Šta učenik najčešće propusti
Polurazlika nije \(\alpha-\beta\), nego \(\frac{\alpha-\beta}{2}\). Upravo taj faktor \(\frac{1}{2}\) pravi razliku između pravilnog obrasca i pogrešne imitacije formule.
\[\sin\alpha+\sin\beta = \sin(m+d)+\sin(m-d)\]
\[= (\sin m\cos d+\cos m\sin d) + (\sin m\cos d-\cos m\sin d) = 2\sin m\cos d.\]
\[\sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}.\]
Mikro-provera: šta se dobija ako je \(\alpha=\beta\)?
Tada je \(d=\frac{\alpha-\beta}{2}=0\), pa formula daje
\[\sin\alpha+\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos 0 = 2\sin\alpha.\]
To je dobar brz test da li formula ima smisla.
Ključne formule
Ovo je skup alata koji moraš da prepoznaješ u oba smera
U praksi ne postoji „važna“ i „nevažna“ formula. Važno je da umeš da izabereš pravi smer čitanja. Prve četiri formule uglavnom koristeš kada želiš faktorizaciju, a druge četiri kada proizvod treba da vratiš u zbir ili razliku uglova.
Zbir sinusa
\[\sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\]
Najčešći ulaz u faktorizaciju jednačina tipa \(\sin A+\sin B=0\).
Razlika sinusa
\[\sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\]
Važna kada treba da izdvojiš faktor \(\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\) ili da brojnika sklopiš sa imeniteljem.
Zbir kosinusa
\[\cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\]
Dobija proizvod kosinusa, što je vrlo korisno kod nula i znaka izraza.
Razlika kosinusa
\[\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\]
Ovo je formula sa najviše grešaka. Minus ispred proizvoda mora ostati tu.
Proizvod \(\sin\cdot\cos\)
\[\sin x \cos y = \frac{1}{2}\bigl(\sin(x+y)+\sin(x-y)\bigr)\]
Koristi kada proizvod treba da spojiš sa drugim sinusima ili da ga pretvoriš u zbir poznatih uglova.
Proizvod \(\cos\cdot\sin\)
\[\cos x \sin y = \frac{1}{2}\bigl(\sin(x+y)-\sin(x-y)\bigr)\]
Obrati pažnju na redosled: ista slova, ali drugačiji raspored proizvodi drugačiji znak.
Proizvod \(\cos\cdot\cos\)
\[\cos x \cos y = \frac{1}{2}\bigl(\cos(x+y)+\cos(x-y)\bigr)\]
Korisna formula kada želiš da sabereš više kosinusa ili da pređeš na uglove x+y i x-y.
Proizvod \(\sin\cdot\sin\)
\[\sin x \sin y = \frac{1}{2}\bigl(\cos(x-y)-\cos(x+y)\bigr)\]
Ova formula je često skriven izvor minusa. Redosled kosinusa u zagradi nije slučajan.
Pravilo orijentacije
Ako vidiš zbir ili razliku istih trigonometrijskih funkcija, prvo pomisli na prelaz u proizvod. Ako vidiš proizvod dve funkcije, proveri da li ti više odgovara prelaz u zbir.
Brza provera znaka
Kod \(\cos\alpha-\cos\beta\) moraš dobiti minus ispred proizvoda. Ako ga nema, gotovo sigurno si pogrešio obrazac.
Mikro-provera: zašto su „obrnute" formule zaista iste formule?
Zato što se radi o istoj jednakosti pročitanoj s druge strane. Na primer,
\[\sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\]
možeš čitati i ovako:
\[\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{1}{2}\bigl(\sin\alpha+\sin\beta\bigr).\]
Interaktivni deo
Canvas laboratorija: pomeri \(\alpha\) i \(\beta\), pa gledaj kako se pojavljuju \(m\) i \(d\)
U ovoj laboratoriji ista formula se vidi i geometrijski i brojčano. Narandžasti i plavi krak predstavljaju alfa i beta, zeleni krak prikazuje srednji ugao m, a ljubičasti luk pokazuje rastojanje između uglova. Menjaj režim i proveravaj da leve i desne strane zaista daju istu vrednost.
Narand\u017Easti krak je \(\alpha\), plavi je \(\beta\), zeleni je srednji ugao \(m\), a ljubi\u010Dasti luk meri koliko su \(\alpha\) i \(\beta\) udaljeni.
Kontrole
Srednji ugao m\(45.0^\circ\)
Polurazlika d\(30.0^\circ\)
Leva strana1.2247
Desna strana1.2247
\[\sin 75^\circ+\sin 15^\circ = 2\sin 45^\circ\cos 30^\circ \approx 1.2247\]
Zbir sinusa se najcesce sabija u proizvod jer odmah dobijas faktor sa srednjim uglom i polurazlikom.
Kako da koristiš laboratoriju
Prvo uzmi lake parove poput \(75^\circ\) i \(15^\circ\), pa proveri da li prepoznaješ standardne vrednosti \(45^\circ\) i \(30^\circ\). Zatim menjaj znak i posmatraj kako se menja desna strana formule.
Na šta obrati pažnju
Kada približiš uglove jedan drugom, polurazlika \(d\) ide ka nuli. Tada desna strana dobija faktor \(\cos 0\) ili \(\sin 0\), što lepo objašnjava zašto neke sume postaju dupli isti član, a neke razlike nestaju.
Kako da učiš iz ove laboratorije
Pokušaj da prvo sam predvidiš srednji ugao i polurazliku pre nego što pogledaš rezultat. Ako se leva i desna strana poklapaju, formula radi. Ako ne, proveri da li si izabrao pravi tip transformacije.
Vođeni primeri
Ovde se vidi kako formula radi u pravim ispitnim situacijama
Namerno su izabrani različiti tipovi zadataka. Cilj nije da samo prepišeš obrazac, nego da uočiš zbog čega je baš taj smer transformacije najkorisniji u datom trenutku.
Primer 1: Izračunaj \(\sin 75^\circ+\sin 15^\circ\)
1
Prepoznaj zbir sinusa, pa idi iz zbira u proizvod.
2
Izračunaj polusumu i polurazliku: \(\frac{75^\circ+15^\circ}{2}=45^\circ\), \(\frac{75^\circ-15^\circ}{2}=30^\circ\).
3
Ubaci standardne vrednosti.
\[\sin75^\circ+\sin15^\circ = 2\sin45^\circ\cos30^\circ = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}\]
Poenta: umesto dva „nezgodna" ugla dobio si proizvod dva potpuno standardna ugla.
Primer 2: Reši jednačinu \(\sin 5x+\sin x=0\) za \(x\in[0,2\pi)\)
1
Ovo je zbir sinusa, pa ga faktoriši formulom zbira u proizvod.
\[\sin 5x+\sin x = 2\sin\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2} = 2\sin 3x\cos 2x\]
2
Dobij proizvod jednak nuli.
\[2\sin 3x\cos 2x=0 \Longrightarrow \sin 3x=0 \ \text{ili}\ \cos 2x=0\]
3
Reši obe jednostavnije jednačine.
\[\sin 3x=0 \Longrightarrow x=\frac{k\pi}{3}, \qquad \cos 2x=0 \Longrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\]
\[x\in\left\{0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{3\pi}{4},\pi,\frac{5\pi}{4},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3},\frac{7\pi}{4}\right\}\]
Poenta: formula nije kraj zadatka, nego alat koji jednačinu dovodi u faktorski oblik.
Primer 3: Pojednostavi \(\dfrac{\cos 7x-\cos 3x}{\sin 5x}\)
1
Brojnik je razlika kosinusa, pa koristi odgovarajuću formulu.
\[\cos 7x-\cos 3x = -2\sin\frac{7x+3x}{2}\sin\frac{7x-3x}{2} = -2\sin 5x\sin 2x\]
2
Skrati zajednički faktor.
\[\frac{\cos 7x-\cos 3x}{\sin 5x} = \frac{-2\sin 5x\sin 2x}{\sin 5x} = -2\sin 2x, \qquad \sin 5x\neq 0\]
Poenta: skraćivanje je dozvoljeno samo na domenu na kom je početni izraz definisan.
Primer 4: Pretvori proizvod \(\sin 4x\cos x\) u zbir
1
Ovo je proizvod tipa \(\sin\cdot\cos\). Koristi obrnuti smer iste jednakosti.
\[\sin 4x\cos x = \frac{1}{2}\bigl(\sin(4x+x)+\sin(4x-x)\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(\sin 5x+\sin 3x\bigr)\]
Poenta: sada su uglovi \(5x\) i \(3x\), pa izraz možeš direktno sabirati sa drugim sinusima istih uglova.
Primer 5: Dokaži da je \(\cos 3x+\cos x=2\cos 2x\cos x\)
1
Prepoznaj zbir kosinusa.
2
Izračunaj polusumu i polurazliku: \(\frac{3x+x}{2}=2x\), \(\frac{3x-x}{2}=x\).
3
Primeni formulu.
\[\cos 3x+\cos x = 2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\cos 2x\cos x\]
Poenta: mnogi „dokazi identiteta" na prijemnom su zapravo vežba brzog prepoznavanja obrasca.
Primer 6: Reši jednačinu \(\cos 4x+\cos 2x=0\) za \(x\in[0,2\pi)\)
1
Zbir kosinusa ide u proizvod.
\[\cos 4x+\cos 2x = 2\cos\frac{4x+2x}{2}\cos\frac{4x-2x}{2} = 2\cos 3x\cos x\]
2
Razdvoji na faktore.
\[2\cos 3x\cos x=0 \Longrightarrow \cos 3x=0 \ \text{ili}\ \cos x=0\]
3
Reši i odstrani duplikate.
\[\cos 3x=0 \Longrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad \cos x=0 \Longrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi\]
\[x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2},\frac{11\pi}{6}\right\}\]
Poenta: kod faktorizacije ne zaboravi da ukloniš duplikate pri zapisivanju konačnog skupa rešenja.
Strategija izbora
Kako da za 10 sekundi odlučiš u kom smeru da ideš
Učeniku je najteži trenutak obično sam početak: nije jasno da li izraz treba razvijati, sabijati ili čitati unazad. Sledeća pravila nisu zamena za razmišljanje, ali su dobar ispitni algoritam.
Ako vidiš zbir ili razliku istih funkcija
\(\sin A\pm \sin B\) ili \(\cos A\pm \cos B\) obično traže prelaz u proizvod, jer time dobijaš faktore.
Ako vidiš proizvod dve funkcije
\(\sin x\cos y\), \(\cos x\cos y\), \(\sin x\sin y\) često treba vratiti u zbir da bi se spojili sa drugim članovima.
Ako je cilj jednačina ili skraćivanje
Prvo traži faktorski oblik. Ako je cilj kombinovanje izraza ili računanje tačne vrednosti, ponekad je korisniji zbir.
Brz algoritam
1. Prepoznaj tip izraza. 2. Izračunaj polusumu i polurazliku ili zbir i razliku uglova. 3. Primeni formulu. 4. Tek tada rešavaj jednačinu, skraćuj ili kombinuješ sa ostatkom zadatka.
Kada ne treba žuriti sa skraćivanjem
Ako si dobio zajednički faktor u brojniku i imeniocu, seti se da skraćivanje menja uslove. Prvo zapiši gde je početni izraz uopšte definisan.
\[\text{prepoznaj tip izraza} \rightarrow \text{izaberi smer transformacije} \rightarrow \text{dobij pogodniji oblik} \rightarrow \text{tek onda rešavaj zadatak}\]
Mikro-provera: šta bi uradio sa izrazom \(\sin 4x\cos x+\sin 5x\)?
Ovde proizvod \(\sin 4x\cos x\) treba prevesti u zbir, jer već pored sebe imaš član \(\sin 5x\). Posle transformacije dobijaš
\[\sin 4x\cos x=\frac{1}{2}(\sin 5x+\sin 3x),\]
pa se izraz prirodno kombinuje sa \(\sin 5x\).
Česte greške
Ovo su tipične tačke na kojima nestaju laki poeni
Većina grešaka u ovoj lekciji nije „teška matematika", nego nepažnja u obliku izraza. Zato ih treba unapred osvestiti i redovno proveravati pri svakom računu.
1. Zaboravljen faktor \(2\)
Skoro sve formule zbira u proizvod imaju faktor \(2\). Bez njega dobijaš obrazac koji liči na tačan, ali numerički ne radi.
2. Pogrešan znak kod \(\cos\alpha-\cos\beta\)
Pravilan oblik je \(-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\). Minus ispred proizvoda nije ukras.
3. Polurazlika bez podele sa 2
Učenik napiše \(\cos(\alpha-\beta)\) umesto \(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\). To je znak da formula nije shvaćena preko sredine i odstupanja.
4. Skraćivanje bez uslova definisanosti
Ako skratiš faktor \(\sin 5x\), moraš zadržati uslov \(\sin 5x\neq 0\) na kome je početni izraz bio definisan.
5. Pogrešan smer transformacije
Neki zadaci se nepotrebno komplikuju jer učenik proizvod razvija u zbir onda kada mu zapravo treba faktorizacija, ili obrnuto.
6. Duplikati u skupu rešenja
Posle faktorizacije dobijaš više skupova rešenja. Kada ih spojiš, proveri da li su neka od njih ista i ukloni ponavljanja.
Veza sa prijemnim zadacima
Kako se ova lekcija stvarno pojavljuje na prijemnom
U praksi se ove formule ne javljaju kao pitanje „napiši formulu". Mnogo češće su ugrađene u dužu jednačinu, u trigonometrijski razlomak ili u zadatak gde treba brzo prepoznati obrazac i skratiti račun.
Tip 1: faktorizacija jednačine
Zbir ili razlika se prvo sabiju u proizvod, a zatim se rešava po faktorima. Ovo je jedan od najčešćih obrazaca.
Tip 2: skraćivanje razlomka
Brojnik se transformiše tako da otkrije isti faktor kao u imeniocu. Ovde je presudno da ne zaboraviš uslove definisanosti.
Tip 3: skriven identitet
Dugačak izraz može da se svede u jednu liniju čim prepoznaš da je u pitanju zbir kosinusa ili proizvod \(\sin x\cos y\).
Tip 4: brojanje rešenja u intervalu
Transformacija je samo prvi korak. Posle nje moraš pažljivo zapisati sva rešenja na zadatom intervalu i odstraniti duplikate.
\[\text{Prijemni ček-list:} \quad \text{koji je tip izraza?} \rightarrow \text{da li mi treba proizvod ili zbir?} \rightarrow \text{koji su uslovi definisanosti?} \rightarrow \text{jesam li dobro zapisao sva rešenja?}\]
Vežbe na kraju
Vežbe za sigurno razumevanje formule i njene upotrebe
Probaj prvo samostalno, pa tek onda otvori rešenja. Redosled je složen tako da ide od čistog prepoznavanja obrasca do tipičnih prijemnih primena.
Vežba 1
Pretvori \(\sin 9x+\sin x\) u proizvod.
Rešenje
Koristimo formulu za zbir sinusa:
\[\sin 9x+\sin x = 2\sin\frac{9x+x}{2}\cos\frac{9x-x}{2} = 2\sin 5x\cos 4x\]
Vežba 2
Pretvori \(\cos 7x+\cos x\) u proizvod.
Rešenje
\[\cos 7x+\cos x = 2\cos\frac{7x+x}{2}\cos\frac{7x-x}{2} = 2\cos 4x\cos 3x\]
Vežba 3
Pretvori \(\cos 5x-\cos x\) u proizvod.
Rešenje
Pazi na minus ispred proizvoda.
\[\cos 5x-\cos x = -2\sin\frac{5x+x}{2}\sin\frac{5x-x}{2} = -2\sin 3x\sin 2x\]
Vežba 4
Pretvori \(\sin 3x\cos 2x\) u zbir.
Rešenje
\[\sin 3x\cos 2x = \frac{1}{2}\bigl(\sin(3x+2x)+\sin(3x-2x)\bigr) = \frac{1}{2}(\sin 5x+\sin x)\]
Vežba 5
Reši \(\sin 3x+\sin x=0\) za \(x\in[0,2\pi)\).
Rešenje
Prvo faktorišemo:
\[\sin 3x+\sin x = 2\sin 2x\cos x\]
Zato važi:
\[2\sin 2x\cos x=0 \Longrightarrow \sin 2x=0 \ \text{ili}\ \cos x=0\]
\[\sin 2x=0 \Longrightarrow x=\frac{k\pi}{2}, \qquad \cos x=0 \Longrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi\]
\[x\in\left\{0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\right\}\]
Vežba 6
Pojednostavi \(\dfrac{\sin 6x-\sin 2x}{\sin 2x}\).
Rešenje
Brojnik je razlika sinusa:
\[\sin 6x-\sin 2x = 2\cos\frac{6x+2x}{2}\sin\frac{6x-2x}{2} = 2\cos 4x\sin 2x\]
Zato je
\[\frac{\sin 6x-\sin 2x}{\sin 2x} = 2\cos 4x, \qquad \sin 2x\neq 0\]
Vežba 7
Izračunaj \(\sin 80^\circ-\sin 20^\circ\).
Rešenje
Koristimo razliku sinusa:
\[\sin 80^\circ-\sin 20^\circ = 2\cos\frac{80^\circ+20^\circ}{2}\sin\frac{80^\circ-20^\circ}{2} = 2\cos 50^\circ\sin 30^\circ = \cos 50^\circ\]
Vežba 8
Pretvori \(\cos 4x\cos x\) u zbir.
Rešenje
\[\cos 4x\cos x = \frac{1}{2}\bigl(\cos(4x+x)+\cos(4x-x)\bigr) = \frac{1}{2}(\cos 5x+\cos 3x)\]
Ključna poruka
Ne pamti osam formula kao osam rečenica
Ako zaista razumeš da su \(\alpha\) i \(\beta\) jednaki \(m+d\) i \(m-d\), onda sve formule dobijaju smisao. Tada ih ne pamtiš na silu, nego prepoznaješ da zbir ili razlika istih funkcija želi da postane proizvod, a proizvod ponekad treba čitati unazad kao zbir.
Glavni trik
Polusuma i polurazlika su organizacioni centar cele lekcije.
Glavna korist
Transformacija menja oblik izraza tako da ga možeš faktorisati, skratiti ili sabirati.
Glavna navika
Pre svakog računa pitaj se: da li mi treba proizvod ili zbir?
Završni rezime
Šta moraš da poneseš iz ove lekcije
Ako sledeće četiri poruke ostanu stabilne, ova lekcija će ti zaista pomagati u narednim zadacima, a neće ostati samo kao lista formula u svesci.
1. Sredina i odstupanje
Uglove posmatraj preko \(m=\frac{\alpha+\beta}{2}\) i \(d=\frac{\alpha-\beta}{2}\). Bez toga formule deluju nepovezano.
2. Zbir istih funkcija ide u proizvod
\(\sin A\pm\sin B\) i \(\cos A\pm\cos B\) obično sabijaš u proizvod jer time dobijaš faktore.
3. Proizvod se po potrebi vraća u zbir
Kada proizvod treba uklopiti sa drugim sinusima ili kosinusima, čitaj formulu unazad i vrati ga u zbir.
4. Na prijemnom proveravaj uslove i duplikate
Transformacija sama nije kraj. Posle nje proveri domen, skraćivanje i konačan skup rešenja.