Kako da rešavaš sisteme 2x2 i 3x3, kako da biras metod i kako da procenis broj rešenja.
Matoteka · Centar znanja · Lekcija 17
Sistemi linearnih jednačina Kramerovo pravilo i Gausov algoritam
Kada vidiš sistem jednačina, ne gledas dve ili tri zasebne formule, već tražis zajedničko rešenje. Upravo ta promena perspektive čini ovu lekciju važnom. Za prijemni nije dovoljno da znaš da računaš: moraš da prepoznaš koji metod je najbrži, kada determinant pomaže, a kada moraš da pređeš na pažljivu diskusiju slučajeva.
Zaključak da iz Δ = 0 automatski sledi da sistem nema rešenje. To nikako nije dovoljno.
Parametarski sistemi, mali aritmetički detalji u determinantama i pravilna upotreba Gausove eliminacije.
Oko 75 minuta za teoriju, vođene primere i interaktivni deo.
Linearne jednačine, determinante drugog i trećeg reda i rad sa razlomcima.
Da za svaki sistem brzo odabereš odgovarajuči metod i sigurno proveriš broj rešenja.
Canvas laboratorija za sistem 2x2 sa trenutnim prikazom pravih, determinante i tipa sistema.
Brza navigacija
Kretanje kroz lekciju
Najstabilniji redosled je: zašto ova tema postoji, kako se nalazi modul i argument, kako se prelazi između oblika, pa tek onda Moivreova formula i koreni.
Zašto je ova lekcija važna
Sistem jednačina se pojavljuje svuda
Sistemi linearnih jednačina se pojavljuju kao prirodan nastavak linearne funkcije: više uslova odjednom treba zadovoljiti istim nepoznatim veličinama.
Na prijemnom proverava više stvari odjednom
Jedan zadatak može istovremeno da proveri računanje, logiku, geometrijsku interpretaciju, pažnju na parametar i organizaciju rešenja.
Uči te da biras metod, ne samo da računaš
Nije poenta da svaki sistem rešavaš istom tehnikom. Nekad je zamena najkraća, nekad suprotni koeficijenti, nekad determinant, a nekad Gausov algoritam.
Priprema za složenije oblasti
Matrice, vektori, analiticka geometrija i linearna algebra kasnije se oslanjaju upravo na ideje koje ovde prvi put srećeš: kompatibilnost uslova, rang, eliminaciju i tumacenje broja rešenja.
Mikro-provera: Šta je glavna mentalna promena u odnosu na jednu jednačinu?
Kod sistema ne tražis broj koji zadovoljava jednu relaciju, vec uređeni par ili trojku koja istovremeno zadovoljava sve relacije. To znači da svaka transformacija mora da sačuva baš taj zajednički skup rešenja.
Osnovna ideja
Šta zapravo predstavlja sistem
Sistem linearnih jednačina je skup linearnih jednačina koje imaju iste nepoznate. Rešenje sistema je svaka vrednost nepoznatih koja sve jednačine čini tacnim u isto vreme.
Opšti oblik sistema 2x2
\[\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}\]
Ovde su \(x\) i \(y\) nepoznate, a koeficijenti \(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\) zadati brojevi.
Geometrijska slika
Svaka linearna jednačina sa dve nepoznate predstavlja pravu u ravni. Zato sistem \(2\times2\) znači: tražimo tačku koja pripada i prvoj i drugoj pravoj.
Jedno rešenje ↔ prave se seku u jednoj tački
Nema rešenja ↔ prave su paralelne i različite
Beskonačno mnogo rešenja ↔ prave se poklapaju
Sistem 3x3
\[\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases}\]
Geometrijska slika je sada složenija jer svaka jednačina predstavlja ravan u prostoru. Zato se u praksi češće oslanjamo na algoritam i račun nego na čisto vizuelnu interpretaciju.
Najvažnija poruka
Sistem nije zbir odvojenih jednačina. Uvek razmisljaj o zajedničkom resenju, odnosno o preseku svih uslova.
Mikro-provera: Da li sistem može imati tačno dva rešenja?
Za linearni sistem \(2\times2\) ne može. Dve prave mogu da seku u jednoj tački, da se ne seku ili da se poklapaju. Dakle: jedno, nijedno ili beskonačno mnogo rešenja.
Metode za sisteme 2x2
Zamena i suprotni koeficijenti
U srednjoškolskim zadacima za sistem sa dve nepoznate najčešće koristiš metodu zamene ili metodu suprotnih koeficijenata. Obe su tačne; razlika je u tome koja je zgodnija za konkretne brojeve.
Metoda zamene
Iz jedne jednačine izdvojis jednu nepoznatu, a zatim taj izraz uvrstis u drugu jednačinu. Ova metoda je odlična kada se jedna nepoznata lako izoluje, na primer kada joj je koeficijent \(1\) ili \(-1\).
1
Izaberi jednačinu iz koje se nepoznata najlakse izdvaja.
2
Izrazi, na primer, \(x\) preko \(y\).
3
Taj izraz zameni u drugoj jednačini.
4
Reši dobijenu jednačinu sa jednom nepoznatom.
5
Vraćanjem izračunaj drugu nepoznatu.
Metoda suprotnih koeficijenata
Jednačine množiš pogodnim brojevima tako da koeficijenti uz jednu nepoznatu postanu suprotni, pa se sabiranjem ta nepoznata eliminise. Ovo je često najbrži put kada su koeficijenti celi brojevi.
1
Odaberi koju nepoznatu eliminises.
2
Pomnozi jednačine tako da koeficijenti uz tu nepoznatu budu suprotni.
3
Saberi jednačine i dobijas novu jednačinu sa jednom nepoznatom.
4
Izračunaj prvu nepoznatu.
5
Uvrsti nazad i nađi drugu.
Kada biras zamenu
\[x = \ldots \text{ ili koeficijent } \pm 1\]
Ako u jednačini već imaš oblik gde je jedna nepoznata lako izdvojiva, ne komplikuj: zamena je tada prirodna.
Kada biras eliminaciju
\[\text{NZS koeficijenata je pregledan}\]
Ako su koeficijenti mali i lepo se usklađuju, eliminacija je često brza od uvrstanja razlomaka.
Ne zaboravi proveru
\[(x_0, y_0) \text{ mora zadovoljiti obe jednačine}\]
Posebno kod prijemnog, brza provera na kraju otkriva grešku u znaku pre nego sto predas zadatak.
Brz ispitni izbor
Ako vidiš da će zamena odmah stvoriti razlomke, probaj eliminaciju. Ako eliminacija traži velika množenja, proveri da li je zamena elegantnija.
Mikro-provera: Za koji sistem je zamena prirodnija od eliminacije?
Za sistem
\[\begin{cases} x=2y+1\\ 3x-y=11 \end{cases}\]
zamena je prirodna jer je \(x\) vec izdvojen. Nema smisla dodatno preuredivati jednačine.
Kramerovo pravilo
Determinante u sluzbi sistema
Kramerovo pravilo koristi determinante da direktno izrazi nepoznate. To je elegantna metoda, ali važi samo kada je determinant koeficijenata različit od nule.
Ideja za sistem 2x2
\[\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}\]
\[\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1\]
Ako je \(\Delta \neq 0\), postoji jedinstveno rešenje:
\[x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}\]
Ideja za sistem 3x3
Za tri nepoznate zamenjujes odgovarajucu kolonu koeficijenata kolonom slobodnih članova:
\[\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}\]
\[x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta},\quad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}\]
Opet je uslov isti: \(\Delta \neq 0\).
Kada je metoda dobra, a kada nije
Kramer je zgodan kada su brojevi mali, determinant se lako računa i kada želiš jasan kriterijum za jedinstveno rešenje. Ako su brojevi veliki ili sistem ima parametar koji komplikuje manje determinante, Gausov algoritam često bude pregledniji.
Kako računaš determinantu 3. reda
U školskim zadacima najčešće koristiš Sarrusovo pravilo:
\[\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{vmatrix} = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh\]
Važno je da tri “pozitivna” i tri “negativna” proizvoda računaš pažljivo. Najviše grešaka nastaje upravo u poslednjem znaku.
Pedagoški trik za pamćenje
Nemoj pokušavati da mehanički pamtiš sest članova. Nacrtaj dve dodatne kolone i prati tri dijagonale nanize i tri dijagonale naviše. Vizuelni obrazac je mnogo pouzdaniji od suvog pamćenja.
Ali oprez
Sarrusovo pravilo važi samo za determinantu trećeg reda, ne i za veće determinante.
Mikro-provera: Da li smeš primeniti Kramerovo pravilo kada je Δ=0?
Ne za računanje jedinstvenog rešenja. Kada je \(\Delta=0\), Kramerovo pravilo u standardnom obliku ne odlučuje da li sistem nema rešenje ili ih ima beskonačno mnogo. Tada radiš dodatnu diskusiju.
Gausov algoritam
Najuniverzalniji alat za rešavanje sistema
Gausov algoritam je najuniverzalniji alat za rešavanje sistema. Ideja je da nizom dozvoljenih transformacija postepeno pojednostavis sistem dok ne dobiješ trougaoni ili gotovo dijagonalni oblik.
Proširena matrica
Sistem zapisuješ u obliku proširene matrice:
\[\left[\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1\\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2\\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{array}\right]\]
Tako jasnije vidiš koje operacije primenjujes istovremeno na koeficijente i slobodne članove.
Dozvoljene operacije
- Zamena mesta dva reda.
- Mnozenje reda nenultim brojem.
- Dodavanje jednom redu nekog višekratnika drugog reda.
Ove operacije ne menjaju skup rešenja sistema. To je razlog zašto smeš da ih koristiš.
Šta je cilj eliminacije
Prvo ponistvas članove ispod vodeceg koeficijenta u prvoj koloni, zatim u drugoj, pa po potrebi i dalje. Kada dobiješ trougaoni sistem, poslednja jednačina obično sadrzi jednu nepoznatu, pa možes da krenes unazad.
Zašto je Gaus posebno važan
Za razliku od Kramera, Gaus radi i kada sistem nema jedinstveno rešenje. Upravo zato je odličan za zadatke sa parametrom, za proveru kompatibilnosti i za sisteme sa više jednačina ili više nepoznatih.
\[0x + 0y + 0z = 5\]
Ako tokom eliminacije dobiješ ovakvu jednačinu, sistem je nemoguć. Ako dobiješ \(0x+0y+0z=0\), jedan red je suvisan i sistem može imati beskonačno mnogo rešenja.
Pedagoški savet za račun
Ne juri odmah lepe brojeve. Ponekad je korisnije prvo zameniti redove da bi vodeci koeficijent bio \(1\) ili \(-1\), jer time kasnije smanjujes opasnost od velikih razlomaka.
Prakticno pravilo
Kada biras pivot, gledaj da bude broj sa kojim će eliminacija biti najčistija.
Mikro-provera: Zašto u Gausu moraš da transformises i slobodne članove?
Zato sto menjas celu jednačinu, ne samo njen levi deo. Ako bi transformisao samo koeficijente uz nepoznate, dobio bi sasvim drugi sistem i izgubio ekvivalentnost.
Parametar i broj rešenja
Diskusija slučajeva
Parametarski zadaci su veoma cesti jer proveravaju da li razumeš mehanizam sistema, a ne samo jedan konkretan račun. Najvažnije je da sistematski razdvojis slučaj Δ ≠ 0 od slučaja Δ = 0.
Ako je Δ ≠ 0
\[\Delta \neq 0 \Longrightarrow \text{jedinstveno rešenje}\]
Tu je priča zavrsena: sistem ima jedinstveno rešenje. Dalje možes računati Kramerom ili nekom drugom metodom.
Ako je Δ = 0
\[\Delta = 0 \Longrightarrow \text{dodatna provera}\]
Ne donosiš još zaključak. Tada proveravaš da li su jednačine međusobno saglasne ili protivrečne.
Iste prave ili paralelne prave
\[\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\ ?\]
Kada su koeficijenti proporcionalni, odlučujes prema slobodnim članovima: ako su i oni proporcionalni, prave se poklapaju; ako nisu, prave su paralelne.
Najčešća prijemna zamka
Kandidat izračuna \(\Delta=0\)i odmah napise “nema rešenja”. To je pogrešno. Prvo proveri da li je sistem možda zavisan, odnosno da li ima beskonačno mnogo rešenja.
Mikro-provera: Šta se događa sa sistemom x+y=2, 2x+2y=4?
Druga jednačina je samo dvostruka prve. To znači da obe opišuju istu pravu, pa sistem ima beskonačno mnogo rešenja.
Interaktivni deo
Interaktivna laboratorija: sistem 2x2 uzivo
Menjaj koeficijente sistema i posmatraj kako se u isto vreme menja geometrijska slika, determinant i broj rešenja. Ovo je najbrži način da osetiš vezu između računa i grafika.
Kontrole
Prva jednačina: a_1 x + b_1 y = c_1
Slobodan član pomera pravu.
Druga jednačina: a_2 x + b_2 y = c_2
Pokušaj da pre pomeranja klizaca prvo napamet predvidiš da li ce sistem imati jedno, nijedno ili beskonačno mnogo rešenja. Zatim proveri grafik.
Determinanta
\(\Delta = -2\)
Tip sistema
Jedinstveno rešenje.
Geometrija
Prave se seku u tački (1, 1).
Kramerov ishod
\(x = 1,\quad y = 1\)
Kako da koristiš laboratoriju pametno?
Za svaku novu postavku uradi kratki mentalni redosled:
- izračunaj ili proceni \(\Delta=a_1b_2-a_2b_1\),
- predvidi broj rešenja,
- zamisli geometriju: seku li se prave, poklapaju ili su paralelne,
- tek onda proveri na canvas prikazu.
Vođeni primeri
Primeri koji grade rutinu za prijemni
Ovde vidiš kako teorija prelazi u konkretan račun. Pokušaj da svaki primer prvo sam započneš, makar prvih nekoliko koraka, pa tek onda pogledaj kompletno vođenje.
Primer 1: metoda zamene
Reši sistem
\[\begin{cases} x=2y+1\\ 3x-y=14 \end{cases}\]
1
Posto je \(x\) već izdvojen, odmah ga menjamo u drugoj jednačini.
2
Dobijamo 3(2y+1)-y=14.
\[6y+3-y=14,\quad 5y=11\]
3
Odatle je \(y=\frac{11}{5}\).
4
Vraćamo u \(x=2y+1\):
\[x=2\cdot\frac{11}{5}+1=\frac{27}{5}\]
\[(x,y)=\left(\frac{27}{5},\frac{11}{5}\right)\]
Primer 2: metoda suprotnih koeficijenata
Reši sistem
\[\begin{cases} 2x+3y=7\\ 4x-3y=5 \end{cases}\]
1
Koeficijenti uz \(y\) su vec suprotni: \(3\) i \(-3\).
2
Sabiranjem jednačina dobijamo 6x=12.
Pa je \(x=2\).
3
Uvrstimo u prvu jednačinu.
\[2\cdot 2+3y=7,\quad 3y=3,\quad y=1\]
\[(x,y)=(2,1)\]
Primer 3: sistem 3x3 Kramerovim pravilom
Reši sistem
\[\begin{cases} x+y+z=6\\ x-y+z=2\\ 2x+y-z=1 \end{cases}\]
1
Racunamo glavni determinant.
\[\Delta = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1 \end{vmatrix} = 6 \neq 0\]
2
Posto je Δ ≠ 0, postoji jedinstveno rešenje.
3
Racunamo pomoćne determinante.
\[\Delta_x=6,\qquad \Delta_y=12,\qquad \Delta_z=18\]
4
Delimo sa Δ.
\[x=\frac{6}{6}=1,\qquad y=\frac{12}{6}=2,\qquad z=\frac{18}{6}=3\]
Primer 4: sistem 3x3 Gausovim algoritmom
Reši sistem
\[\begin{cases} x+y+z=4\\ 2x-y+z=1\\ 3x+y-z=2 \end{cases}\]
1
Zapišujemo proširenu matricu.
\[\left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&4\\ 2&-1&1&1\\ 3&1&-1&2 \end{array}\right]\]
2
Poništavamo prvu kolonu ispod pivota.
\[R_2 \leftarrow R_2-2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3-3R_1\]
\[\left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&4\\ 0&-3&-1&-7\\ 0&-2&-4&-10 \end{array}\right]\]
3
Eliminisemo drugu kolonu.
\[R_3 \leftarrow 3R_3-2R_2\]
\[\left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&4\\ 0&-3&-1&-7\\ 0&0&-10&-16 \end{array}\right]\]
4
Određujemo nepoznate unazad.
\[z=\frac{8}{5},\qquad y=\frac{9}{5},\qquad x=\frac{3}{5}\]
\[(x,y,z)=\left(\frac{3}{5},\frac{9}{5},\frac{8}{5}\right)\]
Primer 5: diskusija sistema sa parametrom
Odredi broj rešenja sistema u zavisnosti od parametra \(m\):
\[\begin{cases} x+y=2\\ mx+2y=3 \end{cases}\]
1
Racunamo determinantu.
\[\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2 \end{vmatrix} = 2-m\]
2
Ako je \(m \neq 2\), determinant nije nula i sistem ima jedinstveno rešenje.
3
Ako je \(m=2\), sistem postaje:
\[\begin{cases} x+y=2\\ 2x+2y=3 \end{cases}\]
Druga jednačina nije dvostruka prve, pa su prave paralelne i različite.
Zaključak
Za \(m \neq 2\) sistem ima jedno rešenje, a za \(m=2\) nema rešenja.
Ključne formule
Ovo mora da iskoci cim vidiš zadatak
Ovu sekciju posmatraj kao brzi pregled pred kontrolni ili prijemni: šta treba da zapamtiš, ali i kada to treba da upotrebis.
Glavni determinant (2x2)
\[\Delta = a_1b_2 - a_2b_1\]
Ako je \(\Delta \neq 0\), sistem ima jedinstveno rešenje.
Kramer (2x2)
\[x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\qquad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}\]
Dobre su kada su koeficijenti mali i kada želiš brz kriterijum.
Sarrus (determinanta 3. reda)
\[aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh\]
Koristi ga za \(\Delta\), \(\Delta_x\), \(\Delta_y\) i \(\Delta_z\), ali pažljivo prati znakove.
Elementarne transformacije (Gaus)
\[R_i \leftrightarrow R_j,\qquad R_i \leftarrow \lambda R_i,\qquad R_i \leftarrow R_i + \lambda R_j\]
Ovo je univerzalni metod, naročito koristan kada treba da otkriješ i nemoguć ili zavisan sistem.
Kako da biras metod na prijemnom
- Ako je jedna nepoznata lako izdvojiva, kreni metodom zamene.
- Ako su koeficijenti mali i lako se ponistaju, uzmi suprotne koeficijente.
- Ako je zadatak napravljen oko determinanti, prirodno je probati Kramera.
- Ako sistem ima tri nepoznate ili parametar pravi više slučajeva, Gaus je često najsigurniji.
Šta nikako da ne preskočis
- Proveru da li je \(\Delta=0\).
- Kontrolu znakova u determinantama.
- Transformaciju i slobodnih članova u Gausu.
- Razdvajanje slučajeva kada parametar poništi neki koeficijent ili determinant.
Česte greške
Ovde se gube laki poeni
U ovoj lekciji greške retko dolaze iz neznanja formule. Češće dolaze iz brzine, lošeg izbora metode ili preuranjenog zaključivanja.
\(\Delta=0\)znači “nema rešenja”
Ne. To samo znači da nemas jedinstveno rešenje preko Kramera. Tek dodatna provera govori da li je sistem nemoguć ili zavisan.
Loš znak u determinanti
Jedan pogresan minus menja celo rešenje. Posebno kod Sarrusa prati tri negativna proizvoda do kraja.
U Gausu se menja samo leva strana
Slobodni članovi moraju da prolaze kroz iste transformacije kao i koeficijenti. U suprotnom rešavaš drugi sistem.
Deljenje izrazom sa parametrom bez provere
Ako deliš izrazom koji može biti nula, moraš izdvojiti poseban slučaj. U suprotnom gubiš moguća rešenja ili uvodis nedozvoljen korak.
Veza sa prijemnim zadacima
Šta se najčešće traži na testu
Na prijemnim ispitima sistemi linearnih jednačina se javljaju u čistom obliku, ali i kao sakriveni deo većeg problema: u zadacima sa parametrima, analitickom geometrijom, presekom grafika ili rekonstrukcijom koeficijenata.
Šta se često traži
Resavanje sistema \(2\times2\), razmatranje sistema sa parametrom, izbor metode ili utvrdivanje broja rešenja.
Gde nastaju zamke
U pogrešnom mnozenju pri eliminaciji, u brzom računanju determinanti i u preskakanju specijalnog slučaja \(\Delta=0\).
Šta proveravaš pod pritiskom vremena
Da li postoji laksa metoda, da li si transformisao i desnu stranu, i da li zaključak o broju rešenja zaista prati iz računa.
Brz ispitni redosled
Pročitaj sistem, proceni najkraći metod, proveri da li postoji parametar ili determinant, uradi račun smireno i na kraju proveri da li dobijeno rešenje zadovoljava originalni sistem.
Vezbe za samostalni rad
Samostalna provera razumevanja
Prvo pokušaj bez pomoci. Ako zapneš, otvori rešenje i uporedi svoj tok razmisljanja sa ponudjenim koracima.
Zadatak 1
Reši sistem metodom zamene:
\[\begin{cases} y=3x-2\\ 2x+y=8 \end{cases}\]
Rešenje
Uvrsti \(y=3x-2\) u drugu jednačinu:
\[2x+(3x-2)=8 \Rightarrow 5x=10 \Rightarrow x=2\]
Zatim je
\[y=3\cdot 2-2=4\]
Rešenje je \((2,4)\).
Zadatak 2
Reši sistem metodom suprotnih koeficijenata:
\[\begin{cases} 3x+2y=11\\ 5x-2y=9 \end{cases}\]
Rešenje
Sabiranjem jednačina eliminise se \(y\):
\[8x=20 \Rightarrow x=\frac{5}{2}\]
Uvrstimo u prvu jednačinu:
\[3\cdot\frac{5}{2}+2y=11 \Rightarrow 2y=\frac{7}{2} \Rightarrow y=\frac{7}{4}\]
Rešenje je \(\left(\frac{5}{2},\frac{7}{4}\right)\).
Zadatak 3
Reši sistem Gausovim algoritmom:
\[\begin{cases} x+y+z=5\\ 2x-y+z=2\\ x+2y-z=1 \end{cases}\]
Rešenje
Oduzmi dva puta prvi red od drugog i prvi red od trećeg:
\[\left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&5\\ 0&-3&-1&-8\\ 0&1&-2&-4 \end{array}\right]\]
Zatim poništi član u drugoj koloni trećeg reda, na primer operacijom \(R_3 \leftarrow 3R_3+R_2\):
\[\left[\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&5\\ 0&-3&-1&-8\\ 0&0&-7&-20 \end{array}\right]\]
Odavde je \(z=\frac{20}{7}\), zatim \(y=\frac{12}{7}\), pa \(x=\frac{3}{7}\).
Zadatak 4
Odredi broj rešenja sistema u zavisnosti od parametra \(p\):
\[\begin{cases} x-y=1\\ 2x-2y=p \end{cases}\]
Rešenje
Druga leva strana je dvostruka prve, pa proveravamo i desnu stranu.
- Ako je \(p=2\), druga jednačina je tačno dvostruka prve i sistem ima beskonačno mnogo rešenja.
- Ako je \(p \neq 2\), leve strane su proporcionalne, a desne nisu, pa sistem nema rešenje.
Zadatak 5
Reši sistem Kramerovim pravilom:
\[\begin{cases} x+y+z=3\\ x-y+z=1\\ 2x+y-z=2 \end{cases}\]
Rešenje
Glavni determinant je
\[\Delta = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1 \end{vmatrix} = 6\]
Dalje dobiješ \(\Delta_x=6\), \(\Delta_y=6\) i \(\Delta_z=6\).
\[x=1,\qquad y=1,\qquad z=1\]
Završni uvid
Glavna poruka ove teme
U sustini, cela lekcija može da se sažme ovako: sistem linearnih jednačina je pitanje kompatibilnosti više uslova.
Najvažniji princip
Kada to razumeš, više ne biras metod naslepo. Zamena, eliminacija, Kramer i Gaus postaju samo različiti alati za isti cilj: da otkriješ da li zajedničko rešenje postoji i kako se najbrže nalazi.
Završni rezime
Šta moraš da poneseš iz ove lekcije
Ovo je lista ideja koje zaista treba da ostanu u glavi nakon lekcije.
1. Osnovna slika
Sistem traži zajedničko rešenje. Kod \(2\times2\) to je presek dve prave. Zato sistem može imati jedno, nijedno ili beskonačno mnogo rešenja.
2. Metode
Biraj prema strukturi zadatka. Zamena i eliminacija su prirodne za \(2\times2\). Kramer je dobar kada je račun sa determinantama pregledan. Gaus je univerzalniji i posebno koristan za \(3\times3\) i parametarske sisteme.
3. Ključna opomena
\(\Delta=0\) nije kraj price. Tada dodatno proveravaš da li sistem postaje nemoguć ili zavisan. Ovo je jedna od najvažnijih prijemnih zamki.
4. Sledeći korak
Najviše koristi imaćeš ako sada samostalno rešavaš zadatke sa parametrom i vezbaš prepoznavanje najkraćeg metoda.