Kako da iz mreže dobiješ formule za ukupnu površinu i kako da za svako telo prepoznaš koja visina ulazi u zapreminu.
Matoteka · Centar znanja · Lekcija 46
Poliedri: prizma i piramida
Ova lekcija te vodi kroz prizme, piramide i zarubljene piramide tako da formule ne učiš napamet, nego iz mreže, preseka i jasne slike tela. Glavni cilj je da na prijemnom odmah razlikuješ šta je površina baze B, šta je obim baze O_b, šta je prava visina H, a šta bočna visina s ili bočna ivica.
Da u kosoj prizmi ili pravilnoj piramidi pomešaš pravu visinu H sa bočnom ivicom ili bočnom visinom s.
Prepoznavanje tipa tela, brz obračun preko baze i pravog preseka, i disciplina da površinu računaš preko lica, a ne preko "lične intuicije".
90 do 110 minuta sa detaljnom teorijom, interaktivnim delom, vođenim primerima i završnim vežbama.
Lekcije 42 do 45: trouglovi, Pitagorina teorema, površine ravnih figura, sličnost i rad sa pravilnim mnogouglovima.
Da iz slike ili teksta zadatka izdvojiš bazu, pravu visinu i odgovarajuću bočnu veličinu, pa zatim složiš površinu i zapreminu bez pogrešne formule.
Vizuelno poređenje prave prizme, kose prizme, pravilne piramide i zarubljene piramide sa mrežama i ključnim vrednostima.
Brza navigacija
Kretanje kroz lekciju
Najstabilniji redosled je: zašto ova tema postoji, kako se nalazi modul i argument, kako se prelazi između oblika, pa tek onda Moivreova formula i koreni.
Zašto je ova lekcija važna
Stereometrija testira da li zaista vidiš telo, a ne samo formulu
Na prijemnom stereometrijski zadatak često izgleda zastrašujuće samo zato što je u prostoru. U stvarnosti, većina poena se osvaja time što pravilno protumačiš figuru i prevedeš je na poznate ravanske površine i pravu visinu.
Ne računaš "u magli" nego iz jasne skice
Kada umeš da izdvojiš bazu, bočna lica i osni presek, telo prestaje da bude komplikovan 3D objekat i postaje zbir poznatih 2D figura. To je osnovna veština stereometrije.
Površina dolazi iz mreže, zapremina iz pravog rastojanja
Ako zapamtiš samo ovu ideju, mnogo teže ćeš napraviti tipične greške: da u zapreminu ubaciš bočnu ivicu ili da u površini zaboraviš jednu bazu ili pomešaš obim i površinu.
Zadatak je često skrivena planimetrija
Vrlo često se prava nepoznata ne nalazi direktno na telu, nego u preseku: trougao kroz visinu piramide, pravougaonik na mreži prizme ili slični trouglovi kod zarubljene piramide.
1. Osnovni pojmovi
Pre formule moraš znati šta tačno gledaš
U stereometriji najveći broj grešaka ne nastaje u računu, već u pogrešnom imenovanju delova tela. Zato prvo raščistimo jezik: šta je poliedar, šta su baze, šta je omotač i koja visina je "prava".
Poliedar
Poliedar je geometrijsko telo omeđeno mnogouglovima. Ta lica mogu biti trouglovi, četvorouglovi ili drugi mnogouglovi, ali su uvek ravne figure.
Za ovu lekciju posebno su važni poliedri kod kojih možeš jasno da razlikuješ baze i bočna lica.
Baze i omotač
Kod prizme postoje dve međusobno paralelne i podudarne baze. Kod piramide postoji jedna baza, a sva bočna lica sastaju se u jednom vrhu. Omotač je skup bočnih lica bez baze ili baza.
\[S = \text{zbir površina svih lica} = \text{baze} + M\]
Prava visina H
Prava visina tela je rastojanje između ravni baza ili rastojanje vrha od ravni baze. To je uvek rastojanje pod pravim uglom, a ne proizvoljna kosa duž.
U zapremini se koristi upravo ova visina, čak i kada telo “izgleda nagnuto”.
Bočna ivica i bočna visina
Bočna ivica je ivica bočnog lica. Bočna visina \(s\) je visina tog bočnog lica, na primer visina trougla kod pravilne piramide ili visina trapeza kod zarubljene piramide. To nije isto što i prava visina \(H\).
Mreža tela
Mreža je ravanski raspored svih lica poliedra dobijen “rasklapanjem” tela. Kada uradiš mrežu, površina postaje običan zbir površina ravnih figura koje već znaš da računaš.
Jezik koji koristimo
U ovoj lekciji \(B\) označava površinu baze, \(O_b\) obim baze, \(M\) površinu omotača, \(S\) ukupnu površinu, \(H\) pravu visinu tela, a \(s\) bočnu visinu odgovarajućeg bočnog lica.
\[\text{baza} \Rightarrow B,\ O_b \qquad \text{omotač} \Rightarrow M\]
Kako da mentalno "spustiš" 3D na 2D
Zamisli da telo rastvoriš na sto. Sve što pripada površini sada vidiš kao pravougaonike, trouglove ili trapeze. Zato je mreža prirodan alat za površinu. Sa druge strane, zapremina meri koliko prostora telo zauzima, pa zato zavisi od površine baze i pravog rastojanja do druge baze ili vrha.
Dve osnovne ideje cele lekcije
\[\text{površina} = \text{zbir površina svih lica},\qquad \text{zapremina} = \text{površina baze} \cdot \text{prava visina}\]
Kod prizme se ta druga ideja primenjuje direktno. Kod piramide je zapremina tri puta manja nego kod prizme sa istom bazom i istom visinom.
Ista baza, ista visina, drugačiji izgled
Ako dve prizme imaju istu površinu baze \(B\) i istu pravu visinu \(H\), one imaju istu zapreminu, čak i ako je jedna prava, a druga kosa. Izgled omotača se menja, ali se broj “slojeva” iste debljine ne menja.
\[V = BH\]
Poređenje prizme i piramide
Ako prizma i piramida imaju istu bazu i istu visinu, piramida zauzima tačno trećinu zapremine prizme. To je jedna od najvažnijih relacija u stereometriji.
\[V_{\text{piramide}} = \frac{1}{3}V_{\text{prizme}}\]
Mikro-provera 1: da li u zapremini smeš koristiti bočnu ivicu?
Ne. Zapremina koristi samo pravu visinu \(H\), tj. rastojanje pod pravim uglom. Bočna ivica može biti duža od te visine i pripadati kosom licu, pa bi dala pogrešan rezultat.
Mikro-provera 2: zašto je mreža korisna baš za površinu?
Zato što se površina tela sastoji od površina lica. Kada telo rasklopiš, ta lica dobijaš kao ravne figure čije površine znaš da izračunaš. Mreža zato uklanja prostornu konfuziju.
2. Prizma
Prava, kosa i pravilna prizma
Prizma nastaje kada se jedan mnogougao "prenese" paralelno samom sebi. Zbog toga ima dve podudarne i paralelne baze, a bočna lica su paralelogrami. Ako su bočne ivice normalne na baze, dobijaš pravu prizmu.
Šta je prizma
Prizma je poliedar sa dve podudarne i paralelne baze. Bočna lica povezuju odgovarajuće stranice baza. Kod prave prizme ta bočna lica su pravougaonici. Kod kose prizme su to opšti paralelogrami.
\[V_{\text{prizme}} = B \cdot H\]
Ova formula važi za svaku prizmu, ne samo za pravu.
Kako razlikovati tri česta naziva
Prava prizma ima bočne ivice normalne na ravan baze. Kosa prizma nema tu normalnost. Pravilna prizma se u školskom programu najčešće misli kao prava prizma sa pravilnim mnogouglom u osnovi.
Na prijemnom pažljivo čitaj formulaciju. Nije dovoljno da je baza pravilna; moraš znati i da li je prizma prava ili kosa.
Zapremina svake prizme
\[V = B cdot H\]
Ne zanima te da li je prizma nagnuta, nego kolika je baza i kolika je prava visina između ravni baza.
Površina omotača (prava prizma)
\[M = O_b cdot H\]
Ovo važi zato što su bočna lica pravougaonici visine \(H\), pa njihov zbir daje obim baze puta visina.
Ukupna površina (prava prizma)
\[S = 2B + M = 2B + O_bH\]
Na površinu ulaze obe baze. Ova formula se vrlo često pogrešno prepolovi jer učenik zaboravi drugu bazu.
Četvorougaona prava prizma
\[B = ab,\quad O_b = 2(a+b),\quad S = 2ab + 2H(a+b)\]
Ovaj oblik je najčešći u školskim zadacima zato što sve možeš da pratiš preko pravougaonika.
Kosa prizma: površina
\[M \neq O_bH \text{ (uopšteno)}\]
Kod opšte kose prizme najsigurniji put je mreža: saberi površine svih bočnih paralelograma i obe baze.
Intuicija: zašto V ostaje isto
\[V = BH\]
Ako telo samo "nagnete", ali baza i prava visina ostanu iste, svaki horizontalni presek ima istu površinu kao ranije.
Prava prizma sa poznatom bazom
Ako je \(B=18\ \text{cm}^2\), \(O_b=20\ \text{cm}\) i \(H=7\ \text{cm}\), onda je
\[M = O_bH = 20 \cdot 7 = 140,\qquad S = 2B + M = 36 + 140 = 176,\]
\[V = BH = 18 \cdot 7 = 126.\]
Ovo je odličan podsetnik da ti za opštu bazu nisu potrebne stranice baze ako su \(B\) i \(O_b\) već dati.
Kosa prizma i visina
U kosoj prizmi bočna ivica može biti, na primer, \(10\) cm, a prava visina samo \(8\) cm. Za zapreminu koristiš \(8\), ne \(10\). Ako je baza \(25\ \text{cm}^2\), onda je
\[V = 25 \cdot 8 = 200\ \text{cm}^3.\]
Bočna ivica pomaže kod površine nekih lica, ali ne menja definiciju zapremine.
Mikro-provera 3: kada formula M = O_b H sigurno važi?
Kada je prizma prava. Tada su sva bočna lica pravougaonici čija je jedna stranica upravo \(H\), pa zbir njihovih površina daje obim baze puta visina.
Mikro-provera 4: šta je potrebno za zapreminu prizme?
Dovoljni su površina baze \(B\) i prava visina \(H\). Nisu ti obavezno potrebne pojedinačne stranice baze ako je \(B\) već poznato.
3. Piramida
Pravilna piramida i zarubljena piramida
Piramida ima jednu bazu, a sva bočna lica su trouglovi koji se sastaju u vrhu. Kod pravilne piramide baza je pravilan mnogougao, a vrh se nalazi iznad centra baze. Tada je račun posebno uredan jer su bočna lica podudarna.
Šta tačno meri bočna visina s
Kod pravilne piramide svako bočno lice je jednakokraki trougao. Bočna visina \(s\) je visina tog trougla, merena od vrha piramide do sredine odgovarajuće stranice baze. To nije isto što i prava visina \(H\), koja pada na centar baze.
\[M = \frac{O_b \cdot s}{2}\]
Zašto se javlja faktor 1/3
Zapremina piramide sa bazom \(B\) i visinom \(H\) jednaka je trećini zapremine prizme sa istom bazom i istom visinom. Ova relacija nije slučajna formula, nego duboka geometrijska činjenica koja se može dokazivati presecanjem ili Cavalierijevim principom.
\[V_{\text{piramide}} = \frac{B \cdot H}{3}\]
Zapremina (svaka piramida)
\[V = rac{B cdot H}{3}\]
Važi bez obzira na oblik baze. Jedino moraš pravilno odrediti površinu baze i pravu visinu tela.
Površina omotača (pravilna piramida)
\[M = rac{O_b cdot s}{2}\]
Bočna lica su podudarni trouglovi, pa ukupna površina omotača postaje zbir njihovih površina.
Ukupna površina (pravilna piramida)
\[S = B + M = B + rac{O_bs}{2}\]
Za razliku od prizme, ovde postoji samo jedna baza, pa se ne pojavljuje \(2B\).
Četvorougaona pravilna piramida
\[B = a^2,\quad O_b = 4a,\quad M = 2as,\quad S = a^2 + 2as\]
Ovo je najčešći oblik na prijemnom jer se bočna visina lako vidi u osnom preseku.
Osni presek daje Pitagoru
\[s^2 = H^2 + r^2\]
Ovde je \(r\) apotema baze, odnosno rastojanje centra pravilne baze do sredine stranice. Za kvadrat važi \(r=\frac{a}{2}\).
Zarubljena piramida: zapremina
\[V = rac{H}{3}left(B_1 + B_2 + sqrt{B_1B_2}
ight)\]
Ovu formulu dobijaš kao razliku dve slične piramide. Na prijemnom se često javlja baš zato što proverava sličnost i rad sa presecima.
Iz visine do bočne visine
Pravilna četvorougaona piramida ima \(a=6\) cm i \(H=4\) cm. Pošto je apotema baze \(r=\frac{a}{2}=3\), dobijaš
\[s = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\ \text{cm}.\]
Tek tada možeš računati bočnu površinu.
Zarubljena piramida kao "odsečena" prava piramida
Kada se piramida odseče ravni paralelnom osnovi, dobijaš zarubljenu piramidu sa dve slične baze. Zbog te sličnosti mnoge nepoznate dužine možeš dobiti preko razmera, a zatim koristiti formule za površinu i zapreminu.
Mikro-provera 5: zašto u pravilnoj četvorougaonoj piramidi uzimaš a/2, a ne dijagonalu baze?
Zato što se bočna visina \(s\) spušta na sredinu stranice baze, pa u osnom preseku dobijaš pravougli trougao čija je jedna kateta rastojanje od centra kvadrata do sredine stranice, a to je \(\frac{a}{2}\).
Mikro-provera 6: koliko baza ima zarubljena piramida?
Dve. Donja i gornja baza su slični mnogouglovi. Zato u ukupnoj površini učestvuju obe, a u zapremini obe kroz formulu sa \(B_1\), \(B_2\) i \(\sqrt{B_1B_2}\).
4. Mreže i izvođenje formula
Mreža je najkraći put do pravilne površine
Učenici često pokušavaju da "pogode" formulu za površinu. Bolji pristup je da nacrtaš ili makar zamisliš mrežu tela. Tada svaka formula postaje posledica sabiranja poznatih ravnih figura.
Prava prizma: dve baze i traka pravougaonika
Mreža prave prizme sastoji se od dve podudarne baze i niza pravougaonika. Širine tih pravougaonika zajedno daju obim baze \(O_b\), a visina svakog je \(H\).
\[M = O_bH,\qquad S = 2B + O_bH\]
Pravilna piramida: baza i niz podudarnih trouglova
Mreža pravilne piramide sastoji se od jedne baze i više podudarnih trouglova. Svaki trougao ima osnovicu jednu stranicu baze i visinu \(s\), pa njihov zbir daje \(\frac{O_bs}{2}\).
\[M = \frac{O_bs}{2},\qquad S = B + \frac{O_bs}{2}\]
Zarubljena piramida: dve baze i bočni trapezi
Kod pravilne zarubljene piramide bočna lica su podudarni trapezi. Ako je \(s\) njihova visina, zbir njihovih površina je poluzbir obima baza puta \(s\).
\[M = \frac{(O_1 + O_2)s}{2}\]
1
Prepoznaj telo
Prizma ili piramida? Prava ili kosa? Pravilna ili ne? Od toga zavisi koja prečica uopšte sme da se koristi.
2
Odredi bazu
Nađi površinu baze \(B\) i, kada treba, njen obim \(O_b\). Nemoj mešati te dve veličine.
3
Odredi pravu i bočnu visinu
Zapremina traži \(H\). Površina omotača pravilne piramide ili frustuma traži \(s\). Ako neka od tih dužina nije data, traži je u preseku.
4
Saberi lica bez preskakanja
Kod prizme su dve baze, kod piramide jedna, kod zarubljene piramide dve. Napiši sabiranje lica pre nego što računaš brojeve.
Mikro-provera 7: zašto mreža štiti od greške u formuli?
Zato što na mreži vidiš tačno koliko lica postoji i kog su oblika. Ako si površinu napisao kao zbir tih lica, formula više nije “na pamet”, nego rezultat konkretne slike.
6. Vođeni primeri
Primeri koji grade sigurnost za prijemni
Primeri su poređani od osnovnog ka složenijem. Prvo rešavaš zadatak kada su B i O_b već dati, zatim prolaziš kroz kosu prizmu, pravilnu piramidu, obrnuti zadatak sa traženjem visine i na kraju zarubljenu piramidu.
Primer 1: Prava prizma sa opštom bazom
Data je prava prizma čija je površina baze \(B=24\ \text{cm}^2\), obim baze \(O_b=22\ \text{cm}\), a visina \(H=9\ \text{cm}\). Odredi ukupnu površinu i zapreminu.
1
Pošto je prizma prava, omotač računaš formulom \(M=O_bH\).
2
Izračunaj omotač.
\[M = 22 \cdot 9 = 198\ \text{cm}^2\]
3
Ukupna površina.
\[S = 2B + M = 2\cdot 24 + 198 = 246\ \text{cm}^2\]
4
Zapremina.
\[V = BH = 24 \cdot 9 = 216\ \text{cm}^3\]
\[S = 246\ \text{cm}^2,\qquad V = 216\ \text{cm}^3\]
Primer 2: Kosa četvorougaona prizma
Donja baza je kvadrat stranice \(a=5\) cm. Gornja baza je pomerena horizontalno za \(d=6\) cm, a prava visina prizme je \(H=8\) cm. Odredi zapreminu i ukupnu površinu.
1
Zapremina odmah.
\[V = BH = 25 \cdot 8 = 200\ \text{cm}^3\]
2
Bočna ivica.
\[k=\sqrt{H^2+d^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\ \text{cm}\]
3
Omotač.
Dva bočna lica imaju površinu \(aH=5\cdot 8=40\), a druga dva \(ak=5\cdot 10=50\).
\[M = 2\cdot 40 + 2\cdot 50 = 180\ \text{cm}^2\]
4
Ukupna površina.
\[S = 2B + M = 50 + 180 = 230\ \text{cm}^2\]
Poenta: zapremina je koristila \(H=8\), a ne kosu bočnu ivicu \(10\).
Primer 3: Pravilna četvorougaona piramida
Pravilna četvorougaona piramida ima osnovicu stranice \(a=6\) cm i visinu \(H=4\) cm. Odredi ukupnu površinu i zapreminu.
1
Površina baze.
\[B=a^2=36\ \text{cm}^2\]
2
Bočna visina preko Pitagore.
\[s=\sqrt{4^2+3^2}=5\ \text{cm}\]
3
Omotač.
\[M=2as=2\cdot 6 \cdot 5=60\ \text{cm}^2\]
4
Ukupna površina i zapremina.
\[S=B+M=36+60=96\ \text{cm}^2\]
\[V=\frac{BH}{3}=\frac{36\cdot 4}{3}=48\ \text{cm}^3\]
Primer 4: Iz ukupne površine do visine piramide
Pravilna četvorougaona piramida ima osnovicu stranice \(a=12\) cm i ukupnu površinu \(S=384\ \text{cm}^2\). Odredi bočnu visinu i pravu visinu piramide.
1
Površina baze i omotač.
\[B=12^2=144\ \text{cm}^2\]
\[M=S-B=384-144=240\ \text{cm}^2\]
2
Bočna visina.
\[240 = 2\cdot 12 \cdot s \Rightarrow s=10\ \text{cm}\]
3
Prava visina.
\[H = \sqrt{s^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{10^2-6^2} = \sqrt{64} = 8\ \text{cm}\]
Ovaj tip zadatka često proverava da li znaš da ideš unazad: od ukupne površine do omotača, pa do visine.
Primer 5: Zarubljena pravilna četvorougaona piramida
Zarubljena pravilna četvorougaona piramida ima donju osnovu stranice \(a=8\) cm, gornju osnovu stranice \(b=4\) cm i pravu visinu \(H=6\) cm. Odredi ukupnu površinu i zapreminu.
1
Površine baza.
\[B_1=8^2=64,\qquad B_2=4^2=16\]
2
Bočna visina trapeza.
\[s=\sqrt{H^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2+2^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\]
3
Omotač.
\[M=\frac{(O_1+O_2)s}{2} = \frac{48 \cdot 2\sqrt{10}}{2} = 48\sqrt{10}\ \text{cm}^2\]
4
Ukupna površina.
\[S = B_1 + B_2 + M = 64 + 16 + 48\sqrt{10} = 80 + 48\sqrt{10}\ \text{cm}^2\]
5
Zapremina.
\[V = \frac{H}{3}\left(B_1 + B_2 + \sqrt{B_1B_2}\right) = \frac{6}{3}\left(64 + 16 + 32\right) = 2 \cdot 112 = 224\ \text{cm}^3\]
Ovde se vidi kako zarubljena piramida spaja tri ideje: sličnost, Pitagoru i zbir površina lica.
Mikro-provera 8: kada u zadatku prvo računaš s, a ne H?
Kada se traži površina pravilne piramide ili zarubljene pravilne piramide. Tada omotač zavisi od bočne visine lica \(s\), a ne direktno od vertikalne visine \(H\).
7. Ključne formule i obrasci
Formula mora da ti prizove sliku tela
Ovaj deo služi kao sažetak. Nemoj ga učiti odvojeno od prethodnih sekcija. Svaka formula ovde treba odmah da ti prizove telo, mrežu i pravu vrstu visine.
Prizma: zapremina
\[V = B cdot H\]
Važi za svaku prizmu, pravu i kosu.
Prava prizma: omotač
\[M = O_b cdot H\]
Važi kada su bočna lica pravougaonici.
Prava prizma: ukupna površina
\[S = 2B + O_bH\]
Ne zaboravi da prizma ima dve baze.
Piramida: zapremina
\[V = rac{BH}{3}\]
Ključni faktor \(\frac{1}{3}\) razlikuje je od prizme.
Pravilna piramida: omotač
\[M = rac{O_bs}{2}\]
Bočna visina \(s\) pripada trouglastim licima.
Pravilna piramida: ukupna površina
\[S = B + rac{O_bs}{2}\]
Ovde postoji samo jedna baza.
Zarubljena pravilna piramida: omotač
\[M = rac{(O_1+O_2)s}{2}\]
Bočna lica su trapezi, pa se javlja poluzbir obima baza.
Zarubljena piramida: ukupna površina
\[S = B_1 + B_2 + M\]
Uvek saberi obe baze i omotač.
Zarubljena piramida: zapremina
\[V = rac{H}{3}left(B_1+B_2+sqrt{B_1B_2}
ight)\]
Formula potiče iz razlike dve slične piramide.
8. Česte greške
Ovde se gube laki poeni
Većina grešaka u ovoj temi nije teška matematika, nego brzopletost. Ako unapred znaš koje su tipične zamke, mnogo lakše ćeš ih prepoznati dok radiš zadatak.
Ubaciš bočnu ivicu u zapreminu
Zapremina ne zna ništa o “nagnutosti” lica. Zna samo za površinu baze i pravu visinu \(H\).
Pomešaš \(B\) i \(O_b\)
Površina baze i obim baze nisu slične veličine. Jedna je u kvadratnim jedinicama, druga u linearnim.
Za kosu prizmu napišeš \(M=O_bH\)
Ta formula je sigurna za pravu prizmu. Kod kose prizme treba da pogledaš konkretna bočna lica ili mrežu.
Kod piramide uzmeš \(s=H\)
Bočna visina pripada bočnom trouglu, a prava visina pada na bazu. Jednake su samo u trivijalnim ili pogrešno nacrtanim situacijama.
Zaboraviš broj baza
Prizma ima dve baze. Piramida jednu. Zarubljena piramida opet dve. Jedna propuštena baza odmah ruši ceo rezultat.
Ne nacrtaš pomoćni presek
Često je prava nepoznata skrivena u pravouglom preseku. Bez tog crteža Pitagora i sličnost ostaju “nevidljive”.
9. Veza sa prijemnim zadacima
Kako da stereometrijski zadatak čitaš pod pritiskom vremena
Na prijemnom nemaš luksuz da dugo lutaš. Potreban ti je kratak i pouzdan protokol čitanja zadatka, tako da u prvoj minuti znaš koje veličine tražiš i koja formula uopšte dolazi u obzir.
Identifikuj telo i vrstu visine
- Da li je telo prizma, piramida ili zarubljena piramida?
- Da li je telo pravo, koso ili pravilno?
- Koja duž je prava visina, a koja bočna visina ili bočna ivica?
Traži pomoćni trougao ili trapez
- Kod pravilne piramide često tražiš \(s\) preko Pitagore.
- Kod zarubljene piramide često radiš sa sličnim presekom.
- Kod baze ponekad prvo moraš rešiti planimetrijski zadatak da bi dobio \(B\) ili \(O_b\).
Proveri rezultat pre predaje
- Da li je površina u \(\text{cm}^2\), a zapremina u \(\text{cm}^3\)?
- Da li su uračunate sve baze?
- Da li si u zapremini koristio pravo rastojanje, a ne kosu duž?
Kada zadatak deluje složeno, vrati ga na dve rečenice
Prva rečenica: “Koja je baza i kolika joj je površina?” Druga rečenica: “Koja je prava visina i koja bočna veličina mi treba za površinu?” Ako te dve stvari jasno napišeš na papiru, zadatak se obično raspadne na poznate korake.
10. Vežbe
Kratki zadaci za proveru razumevanja
Reši samostalno, pa tek onda otvori rešenje. Cilj nije samo tačan broj, nego da vidiš da li si izabrao pravu formulu i pravu vrstu visine.
Vežba 1: Prava prizma sa datim B i O_b
Za pravu prizmu dati su \(B=30\ \text{cm}^2\), \(O_b=26\ \text{cm}\) i \(H=7\ \text{cm}\). Nađi \(S\) i \(V\).
Rešenje
Omotač je \(M=O_bH=26\cdot 7=182\ \text{cm}^2\).
\[S=2B+M=60+182=242\ \text{cm}^2\]
\[V=BH=30\cdot 7=210\ \text{cm}^3\]
Vežba 2: Pravilna četvorougaona piramida
Data je pravilna četvorougaona piramida sa \(a=8\) cm i \(H=3\) cm. Nađi \(s\), \(S\) i \(V\).
Rešenje
Za kvadrat važi \(\frac{a}{2}=4\), pa je \(s=\sqrt{3^2+4^2}=5\) cm.
\[B=8^2=64,\quad M=2as=2\cdot 8\cdot 5=80\]
\[S=B+M=144\ \text{cm}^2\]
\[V=\frac{64\cdot 3}{3}=64\ \text{cm}^3\]
Vežba 3: Kosa četvorougaona prizma
U specijalnom modelu kose kvadratne prizme dati su \(a=4\) cm, \(H=6\) cm i horizontalni pomeraj \(d=8\) cm. Nađi bočnu ivicu, ukupnu površinu i zapreminu.
Rešenje
Bočna ivica je \(k=\sqrt{6^2+8^2}=10\) cm.
\[B=4^2=16,\quad V=16\cdot 6=96\ \text{cm}^3\]
\[M=2aH+2ak=2\cdot4\cdot6+2\cdot4\cdot10=48+80=128\ \text{cm}^2\]
\[S=2B+M=32+128=160\ \text{cm}^2\]
Vežba 4: Zarubljena pravilna četvorougaona piramida
Data je zarubljena pravilna četvorougaona piramida sa \(a=9\) cm, \(b=3\) cm i \(H=4\) cm. Nađi \(S\) i \(V\).
Rešenje
Površine baza su \(B_1=81\) i \(B_2=9\).
\[s=\sqrt{4^2+\left(\frac{9-3}{2}\right)^2}=\sqrt{16+9}=5\]
\[M=\frac{(4\cdot 9 + 4\cdot 3)\cdot 5}{2}=\frac{48\cdot 5}{2}=120\]
\[S=81+9+120=210\ \text{cm}^2\]
\[V=\frac{4}{3}(81+9+\sqrt{729})=\frac{4}{3}(117)=156\ \text{cm}^3\]
Vežba 5: Poređenje prizme i piramide
Prizma i piramida imaju istu bazu površine \(20\ \text{cm}^2\) i istu visinu \(9\) cm. Nađi njihove zapremine i objasni odnos rezultata.
Rešenje
\[V_{\text{prizme}}=BH=20\cdot 9=180\ \text{cm}^3\]
\[V_{\text{piramide}}=\frac{BH}{3}=\frac{20\cdot 9}{3}=60\ \text{cm}^3\]
Piramida ima tačno trećinu zapremine prizme sa istom bazom i istom visinom.
Ključni uvid
Dve rečenice koje rešavaju najveći deo lekcije
Površina i zapremina iz dva različita uglova
Površinu dobijaš kada telo rastvoriš u mrežu i sabereš lica. Zapreminu dobijaš iz površine baze i prave visine, a kod piramide uz dodatni faktor \(\frac{1}{3}\). Kad god se zbuniš, vrati se na te dve rečenice i problem će se ponovo “smiriti”.
11. Završni rezime
Šta moraš da zapamtiš posle ove lekcije
Cilj nije da izađeš sa deset formula u glavi, nego sa jasnim sistemom razmišljanja koji možeš odmah da primeniš na prijemnom zadatku.
1. Prvo identifikuj telo
Prizma ima dve baze. Piramida jednu. Zarubljena piramida dve slične baze i bočne trapeze.
2. Zapremina traži \(B\) i \(H\)
Za prizmu važi \(V=BH\), a za piramidu \(V=\frac{BH}{3}\). Uvek koristi pravu visinu, ne kosu duž.
3. Površina se čita iz mreže
Prava prizma: \(S=2B+O_bH\). Pravilna piramida: \(S=B+\frac{O_bs}{2}\). Frustum: saberi obe baze i trapezasti omotač.
4. Pomoćni presek je pola rešenja
Kada nedostaje \(s\), \(H\) ili neka ivica, nacrtaj odgovarajući pravougli presek i koristi Pitagoru ili sličnost.