Kako se iz koeficijenata čitaju odnosi među korenovima — zbir, parne proizvode i ukupni proizvod.
Matoteka · Centar znanja · Lekcija 15
Nule polinoma i Viètove formule
Ova lekcija povezuje tri ideje koje se na prijemnom stalno ukrštaju: nule polinoma, faktorski zapis i koeficijente polinoma. Kada razumeš kako se korenovi „upisuju“ u koeficijente, mnogi zadaci prestaju da budu nasumično računanje i postaju jasan sistem uslova.
Znakovi i vodeći koeficijent — formule nisu samo „prepisivanje“ koeficijenata, znakovi se smenjuju.
Veza između korenova — aritmetička progresija, poznat koren ili dat zbir i proizvod.
55 do 75 minuta
Polinomi, deljenje i Bezoutov stav
Pretvaranje uslova o korenovima u jednačine
Viète laboratorija sa pomeranjem korenova
Brza navigacija
Kretanje kroz lekciju
Najstabilniji redosled je: zašto ova tema postoji, kako se nalazi modul i argument, kako se prelazi između oblika, pa tek onda Moivreova formula i koreni.
Zašto je ova lekcija važna
Od koeficijenata do korenova i nazad
Na prijemnom se retko traži samo „nađi korenove“. Mnogo češće dobijaš dodatni uslov: jedan koren je poznat, korenovi su u progresiji, dve nule imaju isti zbir ili treba konstruisati polinom po zadatim osobinama. Viètove formule tada pretvaraju priču o korenovima u sistem jednačina nad koeficijentima.
Zašto je to važno baš na prijemnom
Umesto da napamet tražiš faktorizaciju, preko Viètovih formula odmah koristiš ono što je sigurno dostupno: koeficijente. To štedi vreme i smanjuje broj slučajnih grešaka, naročito kod kubnih i polinoma četvrtog stepena.
Gde se ovo javlja kasnije
Ista logika se pojavljuje u teoriji jednačina, analizi znakova, konstruisanju polinoma po zadatim korenovima i pri radu sa kompleksnim korenovima. Zato je važno da ovu lekciju ne učiš kao spisak formula, već kao način razmišljanja.
Ključna poruka
Dobar učenik ne gleda polinom samo kao izraz u promenljivoj \(x\). On ga vidi i kao kodiranu informaciju o svojim korenovima.
Ključna veza
Od nule polinoma do faktora
Sve počinje od jedne jednostavne, ali presudne ideje: broj \(\alpha\) je nula polinoma \(P(x)\) ako i samo ako važi \(P(\alpha)=0\). To nije samo definicija. To je most između „broja koji poništava polinom“ i „činioca koji ulazi u faktorizaciju“.
Nula polinoma
Broj \(\alpha\) je nula polinoma ako uvrštavanjem dobiješ nulu. Drugim rečima, tačka \(\alpha\) na \(x\)-osi je mesto gde graf polinoma seče ili dodiruje osu.
Koren i činilac
Ako je \(\alpha\) koren, onda je \(x-\alpha\) činilac polinoma. Obrnuto, ako je \(x-\alpha\) činilac, onda je \(\alpha\) koren.
Višestruki koren
Ako se faktor \((x-\alpha)\) pojavljuje više puta, kažeš da je \(\alpha\) višestruki koren. To je važno jer osnovni stav algebre broji korenove upravo sa višestrukostima.
\[P(\alpha)=0 \iff x-\alpha \mid P(x)\]
\[P(x)=a(x-\alpha)^k Q(x), \quad Q(\alpha)\neq 0 \Longrightarrow \alpha \text{ je koren višestrukosti } k\]
Intuicija
Kada polinom napišeš u faktorskom obliku, svaki faktor \((x-\alpha)\) „čeka" da uvrstiš baš \(x=\alpha\). Tada taj faktor postaje nula, pa ceo proizvod postaje nula.
Važna dopuna za realne koeficijente
Ako polinom ima realne koeficijente i jedan nerealni koren je \(a+bi\), onda je i \(a-bi\) koren. Zbog toga se nerealni korenovi javljaju u konjugovanim parovima.
Mikro-provera: ako je 2 dvostruki koren polinoma trećeg stepena, koji faktor sigurno postoji?
Sigurno postoji faktor \((x-2)^2\). Pošto je stepen polinoma \(3\), ostaje još jedan linearni faktor. Dakle polinom je oblika
\[P(x)=a(x-2)^2(x-\beta).\]
Centralna teorema
Osnovni stav algebre i broj korenova
Osnovni stav algebre kaže da svaki polinom stepena n, sa nenultim vodećim koeficijentom, ima tačno n kompleksnih korenova ako ih brojiš sa višestrukostima. Ovo je centralna ideja koja objašnjava zašto Viètove formule imaju smisla i za više stepene.
Formalni zapis
\[P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\quad a_n\neq 0\]
\[\Longrightarrow P(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\]
pri čemu su \(x_1,\dots,x_n\) kompleksni korenovi, računajući višestrukosti.
Kako ovo da tumačiš kao učenik
Polinom trećeg stepena ne mora imati tri različita realna korena. Može imati jedan realan i dva kompleksna, ili dva različita realna ako je jedan dvostruk, ili čak jedan trostruki koren. Broj “3” odnosi se na ukupan broj korenova sa višestrukostima u kompleksnom skupu.
Primer 1: Polinom sa višestrukim korenom
Posmatraj polinom
\[P(x)=x^3-3x^2+4=(x-2)^2(x+1).\]
On je trećeg stepena, ali ima samo dve različite realne nule: \(2\) i \(-1\). Ipak, broj \(2\) se broji dva puta jer je dvostruki koren.
Primer 2: Polinom bez realnih korenova
Jednačina
\[x^4+1=0\]
nema realna rešenja, ali po osnovnom stavu algebre ipak ima četiri kompleksna korena. To znači da “nema realnih korenova” ne znači “nema korenova”.
Mikro-provera: koliko korenova ima polinom x⁴+1?
Ima četiri kompleksna korena, računajući višestrukosti. U realnom skupu nema nijedan koren, ali osnovni stav algebre se odnosi na kompleksne brojeve, ne samo na realne.
Kubna jednačina
Viètove formule za kubnu jednačinu
Za kubni polinom najvažnije su tri simetrične sume: zbir svih korenova, zbir proizvoda po dva korena i proizvod sva tri korena. Upravo te tri veličine čitaš direktno iz koeficijenata.
Monični kubni polinom
\[x^3+px^2+qx+r=0\]
\[x_1+x_2+x_3=-p\]
\[x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=q\]
\[x_1x_2x_3=-r\]
Opšti kubni polinom
\[ax^3+bx^2+cx+d=0,\quad a\neq 0\]
\[x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\]
\[x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}\]
\[x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}\]
Odakle dolaze ove formule
Kreneš od faktorskog oblika
\[a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\]
i razviješ proizvod. Dobijaš
\[a\left[x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-x_1x_2x_3\right].\]
Zatim samo uporediš koeficijente uz \(x^2\), \(x\) i slobodni član.
Brza provera: Polinom \(x^3-6x^2+11x-6\)
Ako su korenovi \(1\), \(2\) i \(3\), tada je zbir \(6\), zbir proizvoda po dva korena \(11\), a proizvod \(6\). To se savršeno slaže sa formulama:
\[-(-6)=6,\qquad 11=11,\qquad -(-6)=6.\]
Pedagoška ideja: Šta prvo tražiš na ispitu
Kod kubne jednačine najpre pročitaš zbir korenova. Ako zadatak pominje aritmetičku progresiju, srednji član je odmah određen preko tog zbira. To je često najbrži ulaz u zadatak.
Mikro-provera: ako je zbir korenova kubne jednačine 5, koliki je koeficijent uz x² u moničnom slučaju?
Za jednačinu oblika
\[x^3+px^2+qx+r=0\]
važi \(x_1+x_2+x_3=-p\). Ako je zbir korenova \(5\), onda je \(p=-5\).
Četvrti stepen
Viètove formule za jednačinu četvrtog stepena
Kod polinoma četvrtog stepena pojavljuje se još jedna simetrična suma: zbir proizvoda po tri korena. Znakovi se smenjuju po istom obrascu kao u faktorskom razvoju, pa je preciznost ovde presudna.
Monični polinom četvrtog stepena
\[x^4+px^3+qx^2+rx+s=0\]
\[x_1+x_2+x_3+x_4=-p\]
\[\sum_{1\le i<j\le 4} x_ix_j=q\]
\[\sum_{1\le i<j<k\le 4} x_ix_jx_k=-r\]
\[x_1x_2x_3x_4=s\]
Opšti slučaj
\[ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\]
\[x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}\]
\[\sum_{1\le i<j\le 4} x_ix_j=\frac{c}{a}\]
\[\sum_{1\le i<j<k\le 4} x_ix_jx_k=-\frac{d}{a}\]
\[x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}\]
Kako da ne pomešaš znakove
Najlakše je da zapamtiš faktorski razvoj. Posle \(x^4\) dolazi minus uz zbir korenova, zatim plus uz zbir proizvoda po dva, pa minus uz zbir proizvoda po tri i na kraju plus uz proizvod sva četiri korena.
Kada se ovaj oblik posebno lepo vidi
Ako su korenovi simetrični, recimo \(-a\), \(-b\), \(b\), \(a\), koeficijenti uz neparne stepene često nestaju. To daje veoma pregledne zadatke, ali samo ako prepoznaš simetriju na vreme.
Primer: Korenovi \(-3\), \(-1\), \(1\), \(3\)
Zbir korenova je \(0\), zbir proizvoda po dva je \(-10\), zbir proizvoda po tri je \(0\), a proizvod svih korenova je \(9\). Zato je monični polinom
\[x^4-10x^2+9.\]
Još kraći put je grupisanje:
\[(x+3)(x-3)(x+1)(x-1)=(x^2-9)(x^2-1)=x^4-10x^2+9.\]
Mikro-provera: šta znaš o zbiru korenova i zbiru trostrukih proizvoda ako u polinomu četvrtog stepena nema članova x³ i x?
Ako je jednačina oblika
\[x^4+qx^2+s=0,\]
onda su koeficijenti uz \(x^3\) i \(x\) jednaki nuli. Zato važi
\[x_1+x_2+x_3+x_4=0\]
i
\[\sum_{1\le i<j<k\le 4} x_ix_jx_k=0.\]
Interaktivni deo
Interaktivna Viète laboratorija
U ovom delu sam biraš realne korenove i pratiš kako se iz njih formiraju koeficijenti. Cilj nije samo računanje, već stvaranje osećaja: kada se korenovi pomere, polinom menja „potpis“ u svojim koeficijentima.
Podešavanja
Korenovi
Izabrana vrednost1
Izabrana vrednost2
Izabrana vrednost3
Polinom\[P(x)=x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\]
Faktorski zapis\[P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\]
Viete provera\[a=1,\ b=-6,\ c=11,\ d=-6\]\[x_1+x_2+x_3=6,\qquad -\frac{b}{a}=6\]\[x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=11,\qquad \frac{c}{a}=11\]\[x_1x_2x_3=6,\qquad -\frac{d}{a}=6\]
Kako da čitaš alat
Prvo gledaj raspored, pa formule. Ako korenovi postanu simetrični oko nule, odmah prati koje neparne koeficijente alat “gasi”.
Pedagoška napomena
Laboratorija koristi realne korenove. Osnovni stav algebre važi u kompleksnom skupu, ali za intuiciju je korisnije da ovde vidiš korenove na brojevnoj pravoj.
Prijemni signal
Traži skrivenu strukturu. Posebno obrati pažnju na simetriju, višestruke korenove i aritmetičku progresiju. To su najčešći “ulazi” u zadatak.
Vođeni primeri
Primeri koji grade rutinu za prijemni
Ovde je najvažnije da vidiš kako se teorija koristi u realnom zadatku. Nemoj preskakati korake. Cilj je da ti postane prirodno da iz koeficijenata prvo pročitaš simetrične sume, a tek onda koristiš dodatni uslov iz teksta zadatka.
Primer 1: Kubna jednačina čiji su korenovi u aritmetičkoj progresiji
Rešiti jednačinu
\[x^3-12x^2+47x-60=0\]
ako je poznato da su njeni korenovi u aritmetičkoj progresiji.
1
Čitaj zbir korenova
Po Vièti važi
\[x_1+x_2+x_3=12.\]
Ako su korenovi u aritmetičkoj progresiji, piši ih kao \(4-d\), \(4\), \(4+d\), jer je srednji član aritmetička sredina.
2
Iskoristi proizvod korenova
Proizvod je
\[(4-d)\cdot 4\cdot (4+d)=60.\]
Dakle
\[4(16-d^2)=60 \Longrightarrow 64-4d^2=60 \Longrightarrow d^2=1.\]
3
Zapiši korenove
Dobijaš \(d=1\), pa su korenovi
\[3,\ 4,\ 5.\]
Brza provera: zbir je \(12\), zbir proizvoda po dva je \(47\), a proizvod je \(60\).
Primer 2: Parametar i poznat koren
Odrediti \(m\) ako polinom
\[P(x)=x^3-(m+3)x^2+(2m+1)x-3\]
ima koren \(x=1\). Zatim naći ostale korenove.
1
Prvo Bezout, pa Vièta
Pošto je \(1\) koren, važi
\[P(1)=0.\]
Računamo:
\[1-(m+3)+(2m+1)-3=0 \Longrightarrow m-4=0.\]
Dakle \(m=4\).
2
Uvrsti parametar
Dobijeni polinom je
\[x^3-7x^2+9x-3.\]
Pošto je \(1\) koren, faktor je \(x-1\).
3
Nađi preostale korenove
Deljenjem ili Hornerovom šemom dobija se
\[x^3-7x^2+9x-3=(x-1)(x^2-6x+3).\]
Zato su ostali korenovi
\[x=3\pm \sqrt{6}.\]
Primer 3: Konstrukcija polinoma četvrtog stepena po zadatim korenovima
Konstruisati monični polinom četvrtog stepena čiji su korenovi \(-3\), \(-1\), \(1\) i \(3\).
1
Može Vièta, a može i pametno grupisanje
Najkraći put je
\[(x+3)(x-3)(x+1)(x-1)=(x^2-9)(x^2-1).\]
2
Razvij proizvod
Dobijaš
\[(x^2-9)(x^2-1)=x^4-10x^2+9.\]
3
Poveži sa koeficijentima
Po Vièti se odmah vidi da su zbir korenova i zbir trostrukih proizvoda jednaki nuli, zato u polinomu nema članova \(x^3\) i \(x\).
Primer 4: Dva poznata korena kod polinoma četvrtog stepena
Naći sve korenove jednačine
\[x^4-8x^3+23x^2-28x+12=0\]
ako je poznato da su \(1\) i \(2\) korenovi.
1
Uvedi nepoznate preostale korenove
Neka su preostali korenovi \(u\) i \(v\). Tada po Vièti važi
\[1+2+u+v=8 \Longrightarrow u+v=5.\]
2
Iskoristi proizvod svih korenova
Pošto je slobodan član \(12\), a polinom je moničan,
\[1\cdot 2\cdot u\cdot v=12 \Longrightarrow uv=6.\]
3
Reši pomoćnu kvadratnu jednačinu
Brojevi \(u\) i \(v\) su korenovi jednačine
\[t^2-5t+6=0,\]
pa je
\[t=2 \quad \text{ili} \quad t=3.\]
Dakle svi korenovi su
\[1,\ 2,\ 2,\ 3.\]
Ključne formule
Ključne formule i obrasci
Ako želiš stabilnost na prijemnom, ne uči formule odvojeno od njihove ideje. Svaka od narednih kartica predstavlja obrazac koji treba da ti bude automatski prepoznatljiv.
Veza koren-faktor
\[P(\alpha)=0 \iff x-\alpha \mid P(x)\]
Ako znaš koren, znaš jedan faktor. Ako znaš faktor, znaš jedan koren.
Kubna Vièta
\[\sum x_i=-\frac{b}{a},\quad \sum_{i<j} x_ix_j=\frac{c}{a},\quad x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}\]
Najčešći prijemni zadaci traže baš kombinovanje ove tri relacije sa dodatnim uslovom.
Kvartična Vièta
\[\sum x_i=-\frac{b}{a},\quad \sum_{i<j}x_ix_j=\frac{c}{a},\quad \sum_{i<j<k}x_ix_jx_k=-\frac{d}{a},\quad x_1x_2x_3x_4=\frac{e}{a}\]
Kod četvrtog stepena najviše grešaka nastaje upravo na znaku uz trostruke proizvode.
Aritmetička progresija
\[x_1=m-d,\quad x_2=m,\quad x_3=m+d,\quad x_1+x_2+x_3=3m\]
Čim zadatak kaže da su korenovi u aritmetičkoj progresiji, srednji član dobijaš direktno iz zbira korenova.
Česte greške
Ovde se gube laki poeni
Ove greške su tipične baš zato što učenik zna formulu, ali je mehanički koristi. Zato ih vredi unapred osvestiti.
Zaboravljen vodeći koeficijent
Kod jednačine \(2x^3-5x^2+\dots=0\) zbir korenova nije \(5\), nego \(\frac{5}{2}\), jer uvek deliš sa vodećim koeficijentom.
Pogrešni znakovi
Znakovi se smenjuju. Kod kubne jednačine proizvod tri korena nosi minus, a kod polinoma četvrtog stepena proizvod sva četiri korena nosi plus.
Broje se samo različiti korenovi
Ako je \(2\) dvostruki koren, on se računa dva puta. To menja i broj korenova i Viètove relacije.
Mešanje simetričnih suma
Izraz \(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\) nije isto što i \((x_1+x_2+x_3)^2\). To su potpuno različite veličine.
Ignorisanje dodatnog uslova
Vièta sama često ne daje konkretne korenove. Potrebno je kombinovati formule sa uslovom iz zadatka: progresija, poznat koren, simetrija, deljivost.
Pretpostavka da su svi korenovi realni
Osnovni stav algebre govori o kompleksnim korenovima. Ako zadatak ne garantuje realnost, ne smeš je podrazumevati bez provere.
Veza sa prijemnim zadacima
Šta se najčešće traži na testu
Na prijemnom se ova lekcija najčešće ne pojavljuje kao „čista teorija“, već kao deo složenijeg problema. Zbog toga je korisno imati kratku mentalnu kontrolnu listu.
Tipični oblici zadataka
- korenovi su u aritmetičkoj progresiji ili imaju zadat zbir/proizvod
- jedan koren je poznat, pa treba odrediti parametar i ostale korenove
- zadati su neki korenovi, pa treba konstruisati polinom
- polinom četvrtog stepena ima simetrične korenove ili ponovljen koren
Kontrolna lista pre nego što računaš
- pročitaj zbir korenova iz koeficijenta uz \(x^{n-1}\)
- pročitaj odgovarajući proizvod iz slobodnog člana
- uvedi zgodne oznake za korenove prema uslovu iz zadatka
- na kraju obavezno proveri da li dobijeni korenovi zaista zadovoljavaju sve uslove
Prijemni savet
Ako vidiš uslov “korenovi su u aritmetičkoj progresiji”, nemoj odmah pokušavati faktorizaciju. Prvo pročitaj zbir korenova i uvedi oblik \(m-d\), \(m\), \(m+d\). To je gotovo uvek najstabilniji početak.
Vežbe na kraju
Vežbe za samostalan rad
Pokušaj da svaku vežbu prvo uradiš bez otvaranja rešenja. Kod ovih zadataka nije poenta samo doći do rezultata, već vežbati redosled misli.
Vežba 1: Tri uzastopna cela korena
Rešiti jednačinu
\[x^3-9x^2+26x-24=0\]
ako su njeni korenovi tri uzastopna cela broja.
Rešenje
Po Vièti je zbir korenova \(9\), pa je srednji član \(3\). Zato su korenovi oblika \(3-1\), \(3\), \(3+1\), odnosno
\[2,\ 3,\ 4.\]
Provera: \(2\cdot 3\cdot 4=24\), pa sve odgovara.
Vežba 2: Provera korena i simetričnih suma
Za jednačinu
\[2x^3-9x^2+13x-6=0\]
odredi zbir korenova, zbir proizvoda po dva korena i proizvod sva tri korena. Zatim proveri da li je \(x=1\) koren.
Rešenje
Po Vièti važi
\[x_1+x_2+x_3=\frac{9}{2},\qquad x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{13}{2},\qquad x_1x_2x_3=3.\]
Provera korena:
\[P(1)=2-9+13-6=0.\]
Dakle \(1\) jeste koren.
Vežba 3: Konstrukcija moničnog polinoma
Konstruisati monični polinom četvrtog stepena čiji su korenovi \(-2\), \(-1\), \(1\) i \(2\).
Rešenje
Grupisanjem dobijaš
\[(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)=(x^2-4)(x^2-1)=x^4-5x^2+4.\]
Dakle traženi polinom je
\[x^4-5x^2+4.\]
Vežba 4: Dva poznata korena kod polinoma četvrtog stepena
Monični polinom četvrtog stepena ima korenove \(1\), \(2\), \(r\) i \(s\). Koeficijent uz \(x^3\) je \(-9\), a slobodan član \(12\). Odredi \(r\) i \(s\).
Rešenje
Iz koeficijenta uz \(x^3\) sledi
\[1+2+r+s=9 \Longrightarrow r+s=6.\]
Iz slobodnog člana sledi
\[1\cdot 2\cdot r\cdot s=12 \Longrightarrow rs=6.\]
Brojevi \(r\) i \(s\) su korenovi jednačine
\[t^2-6t+6=0,\]
pa je
\[r,s=3\pm \sqrt{3}.\]
Vežba 5: Od uslova o korenovima do koeficijenata
Jednačina
\[x^3+px^2+qx-8=0\]
ima koren \(2\), a preostala dva korena imaju zbir \(2\). Odredi \(p\) i \(q\).
Rešenje
Ako su ostali korenovi \(m\) i \(n\), onda je
\[m+n=2.\]
Pošto je proizvod svih korenova \(8\), važi
\[2mn=8 \Longrightarrow mn=4.\]
Zbir svih korenova je
\[2+m+n=4,\]
pa je
\[-p=4 \Longrightarrow p=-4.\]
Dalje,
\[q=2(m+n)+mn=2\cdot 2+4=8.\]
Dakle
\[p=-4,\qquad q=8.\]
Vežba 6: Višestruki koren
Objasni zašto polinom
\[x^3-3x^2+4\]
ima tri korena računajući višestrukosti, iako ima samo dve različite realne nule.
Rešenje
Faktorisanjem dobijaš
\[x^3-3x^2+4=(x-2)^2(x+1).\]
Zato su korenovi \(2\), \(2\) i \(-1\). Broj \(2\) se javlja dvaput, pa kažemo da je dvostruki koren. Zato polinom trećeg stepena ima tri korena računajući višestrukosti, iako su samo dve nule različite.
Završni rezime
Šta moraš da poneseš iz ove lekcije
Ako iz ove lekcije treba da poneseš nekoliko stabilnih ideja, onda su to sledeće.
Nula polinoma i faktor su ekvivalentni
Uslov \(P(\alpha)=0\) odmah znači da je \(x-\alpha\) činilac. To je osnova za razumevanje svih narednih relacija.
Viètove formule povezuju koeficijente i korenove
Kod kubne i jednačine četvrtog stepena ne moraš da znaš same korenove da bi znao njihov zbir i određene proizvode.
Vežbaj zadatke sa dodatnim uslovom
Najviše vrednosti iz ove lekcije dobijaš kada Viètu kombinuješ sa uslovima kao što su progresija, simetrija, poznat koren ili deljivost.
Završni uvid
Najvažniji skok u razumevanju nastaje kada prestaneš da pitaš “kako da rešim ovu jednačinu?” i počneš da pitaš “koja informacija o korenovima je već skrivena u koeficijentima?”. Tada Viètove formule postaju alat, a ne formula za pamćenje.