Da rešavaš logaritamske nejednačine kada je baza veća od 1, ali i kada je između 0 i 1.
Matoteka · Centar znanja · Lekcija 32
Logaritamske nejednačine
Ovo je deo gradiva u kome se najlakše izgubi smer razmišljanja. Nije dovoljno samo rešiti dobijenu nejednačinu: moraš da proveriš domen, da znaš da li se znak čuva ili obrće i da tek onda presečeš dobijeni skup sa uslovima definisanosti.
Tačno rešena algebra nije kraj zadatka ako si zaboravio domen ili pogrešno pročitao monotonost logaritma.
Brz redosled odluka: domen, baza, smer znaka, algebra, konačni presek.
60-80 minuta uz dovoljno rada na brojnoj pravoj.
Logaritamska funkcija, logaritamske jednačine i pravila logaritmovanja.
Ispravno čitanje monotonosti i presecanje dobijenih intervala sa domenom.
Canvas laboratorija za smer znaka, domen i konačan skup rešenja.
Brza navigacija
Kretanje kroz lekciju
Najstabilniji redosled je: zašto ova tema postoji, kako se nalazi modul i argument, kako se prelazi između oblika, pa tek onda Moivreova formula i koreni.
Zašto je ova lekcija važna
Ovo je mesto gde studenti najčešće pomešaju dve različite ideje
Logaritamske nejednačine nisu teške zato što imaju mnogo formula, već zato što istovremeno traže i razumevanje funkcije i preciznu algebru. Moraš da kontrolišeš i domen i smer nejednakosti.
Kasnija primena
Ista logika se vraća i u analizi grafika, domena složenih funkcija i zadacima sa parametrima.
Prijemni benefit
Kada znaš stabilan algoritam, zadatak više ne deluje„specijalno“, nego postaje obična algebra pod kontrolom uslova.
Tipičan pad poena
Učenik dobro reši dobijenu linearnu ili kvadratnu nejednačinu, ali zaboravi da je početni domen bio stroži.
\[\text{logaritamska nejednačina} = \text{domen} + \text{monotonost} + \text{algebra} + \text{presek}.\]
Mikro-provera: zašto se logaritamske nejednačine smatraju težim od logaritamskih jednačina?
Kod jednačina je dovoljno da sačuvaš ekvivalentnost i proveriš domen. Kod nejednačina moraš dodatno da znaš da li je logaritamska funkcija rastuća ili opadajuća, jer to menja smer poređenja.
Pojam
Šta zovemo logaritamskom nejednačinom
To je nejednačina u kojoj se nepoznata pojavljuje unutar argumenta logaritma ili u više logaritamskih izraza koje treba uporediti, spojiti ili svesti na istu bazu.
Najčešći osnovni oblici
\[\log_a f(x)\ \square\ c \qquad \text{ili} \qquad \log_a f(x)\ \square\ \log_a g(x),\]
gde je \(\square \in \{<,\le,>,\ge\}\).
- U prvom slučaju porediš argument sa brojem \(a^c\), ali zavisno od baze znak može da se čuva ili obrće.
- U drugom slučaju porediš argumente, opet uz proveru monotonosti i domene.
- U složenijim zadacima prvo koristiš pravila logaritmovanja, pa onda rešavaš dobijenu nejednačinu.
Redosled razmišljanja
\[\boxed{D \to \text{baza} \to \text{transformacija} \to \text{rešenje} \to D \cap S}\]
Ako preskočiš bilo koji od ovih koraka, vrlo lako dobijaš formalno tačan, ali suštinski pogrešan odgovor.
Prvi uslov
Domen se određuje pre rešavanja nejednačine
U logaritamskim nejednačinama domen nije samo tehnički detalj. On je aktivni filter kroz koji svako dobijeno rešenje mora da prođe.
Osnovni uslovi
\[\log_a f(x) \text{ postoji samo ako } a>0,\ a\neq 1,\ f(x)>0.\]
- Ako imaš više logaritama, svi argumenti moraju biti strogo pozitivni.
- Presek uslova je skup u kome tek smeš da koristiš pravila logaritmovanja.
- Granice na kojima argument postaje \(0\) nikada ne ulaze u rešenje.
Primer domena pre bilo kakvog računa
\[\log_3(x-2)\le \log_3(8-x)\]
odmah daje uslove
\[x-2>0,\qquad 8-x>0.\]
Zato je domen
\[2<x<8.\]
1
Napiši uslove za sve argumente
Kod logaritama je znak uvek strogo \(>\), nikad \(\ge\).
2
Nađi presek
Ne rešavaj svaku restrikciju posebno do kraja. Odmah formiraj zajednički domen.
3
Na kraju se vrati na domen
Čak i ako formalno dobiješ veći interval, početna funkcija odlučuje šta je stvarno dozvoljeno.
Mikro-provera: da li tačka u kojoj je argument jednak nuli može da uđe kod nejednačine sa znakom ≤?
Ne može. Znak \(\le\) pripada algebarskom delu, ali logaritam u toj tački uopšte nije definisan. Zato granica na kojoj je argument \(0\) uvek ostaje isključena.
Monotonost
Baza odlučuje da li se znak čuva ili obrće
Ovo je glavni princip cele lekcije. Logaritamska funkcija y = log_a(x) je strogo monotona: raste ako je a > 1, a opada ako je 0 < a < 1.
Kada je a > 1
\[\log_a f(x)\ \square\ \log_a g(x) \iff f(x)\ \square\ g(x)\]
Funkcija raste, pa se smer nejednakosti čuva.
Kada je 0 < a < 1
\[\log_a f(x)\ \square\ \log_a g(x) \iff f(x)\ \square_{\text{obr}}\ g(x)\]
Funkcija opada, pa se smer nejednakosti obrće.
Šta znači obrnut znak
\[< \leftrightarrow >,\qquad \le \leftrightarrow \ge\]
Strogi znak ostaje strog, nestriktni ostaje nestriktan, menja se samo smer.
Poređenje sa brojem
\[\log_a f(x)\ \square\ c\]
Najpre misliš na horizontalnu pravu \(y=c\), odnosno na vrednost \(a^c\). Kada je baza veća od \(1\), dobijaš \(f(x)\ \square\ a^c\). Kada je baza manja od \(1\), znak se obrće.
Poređenje dva logaritma
\[\log_a f(x)\ \square\ \log_a g(x)\]
Ako je baza ista, porediš argumente. Ali ne zaboravi: najpre domen, zatim odluka o smeru znaka, pa tek onda linearna ili kvadratna nejednačina.
Mikro-provera: šta se dešava sa znakom kod baze 1/2?
Pošto je \(0<\tfrac{1}{2}<1\), funkcija \(y=\log_{\frac{1}{2}}x\) opada. Zato se pri skidanju logaritma ili poređenju argumenata smer nejednakosti obrće.
Vođeni primeri
Primeri od osnovnog oblika do prijemnog zadatka sa spajanjem logaritama
Svaki primer vodi istim redosledom. To nije stil pisanja, nego algoritam koji treba da poneseš na ispit.
Primer 1. Direktna nejednačina sa bazom većom od \(1\)
Reši \(\log_2(x-1)<3\).
1
Domen
\(x-1>0\), pa je \(x>1\).
2
Monotonost
Pošto je \(2>1\), funkcija raste i znak se čuva.
3
Algebra
Dobijamo \(x-1<2^3=8\), odnosno \(x<9\).
4
Presek sa domenom
Konačno \(1<x<9\).
\[S=(1,9).\]
Primer 2. Direktna nejednačina sa bazom između \(0\) i \(1\)
Reši \(\log_{\frac{1}{2}}(x+2)\le -1\).
1
Domen
\(x+2>0\), pa je \(x>-2\).
2
Monotonost
Pošto je \(0<\tfrac{1}{2}<1\), funkcija opada i znak se obrće.
3
Algebra
Dobijamo \(x+2\ge \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1}=2\).
4
Rešenje
Odavde sledi \(x\ge 0\). Presek sa domenom ne menja rezultat, jer je \(x\ge 0\) već strože od \(x>-2\).
\[S=[0,\infty).\]
Primer 3. Poređenje dva logaritma, baza veća od \(1\)
Reši \(\log_3(x-1)<\log_3(7-x)\).
1
Domen
\(x-1>0\) i \(7-x>0\), pa je \(1<x<7\).
2
Monotonost
Pošto je \(3>1\), znak se čuva.
3
Algebra
Dobijamo \(x-1<7-x\), pa je \(2x<8\), odnosno \(x<4\).
4
Presek sa domenom
Konačno \(1<x<4\).
\[S=(1,4).\]
Primer 4. Poređenje dva logaritma, baza manja od \(1\)
Reši \(\log_{\frac{1}{3}}(x-2)>\log_{\frac{1}{3}}(8-x)\).
1
Domen
\(x-2>0\) i \(8-x>0\), pa je \(2<x<8\).
2
Monotonost
Pošto je \(0<\tfrac{1}{3}<1\), znak se obrće.
3
Algebra
Dobijamo \(x-2<8-x\), pa je \(2x<10\), odnosno \(x<5\).
4
Presek sa domenom
Konačno \(2<x<5\).
\[S=(2,5).\]
Primer 5. Spajanje logaritama i kvadratna nejednačina
Reši \(\log_2(x-1)+\log_2(x-3)\le 3\).
1
Domen
\(x-1>0\) i \(x-3>0\), pa je \(x>3\).
2
Spajanje logaritama
\[\log_2((x-1)(x-3))\le 3\]
3
Monotonost i algebra
Pošto je \(2>1\), znak se čuva, pa dobijamo \((x-1)(x-3)\le 8\).
4
Kvadratna nejednačina
Širimo: \(x^2-4x+3\le 8\), odnosno \(x^2-4x-5\le 0\). Faktorizacija daje \((x-5)(x+1)\le 0\), pa je algebarsko rešenje \([-1,5]\).
5
Presek sa domenom
Presek sa domenom \(x>3\) daje konačno \((3,5]\).
\[S=(3,5].\]
Zašto je ovaj primer ključan
Ovo je tip zadatka na kome se lepo vidi da domen nije ukras. Bez njega bi ostao čitav interval \([-1,5]\), što je pogrešno.
Obrasci i ključne formule
Ovo treba da prepoznaješ odmah, bez dužeg razmišljanja
Ne postoji mnogo formula. Postoji nekoliko stabilnih obrazaca koji se stalno ponavljaju.
Direktan oblik, a > 1
\[\log_a f(x)\ \square\ c \iff f(x)\ \square\ a^c\]
Direktan oblik, 0 < a < 1
\[\log_a f(x)\ \square\ c \iff f(x)\ \square_{\text{obr}} a^c\]
Dva logaritma, a > 1
\[\log_a f(x)\ \square\ \log_a g(x) \iff f(x)\ \square\ g(x)\]
Dva logaritma, 0 < a < 1
\[\log_a f(x)\ \square\ \log_a g(x) \iff f(x)\ \square_{\text{obr}} g(x)\]
Obavezni domen
\[f(x)>0,\qquad g(x)>0.\]
Konačni presek
\[S = S_{\text{algebra}} \cap D.\]
Česte greške
Tipične greške koje se ponavljaju iz godine u godinu
Ako ih naučiš unapred, lakše ćeš ih prepoznati i u sopstvenom radu.
Preskočen domen
Najčešća greška. U logaritamskim nejednačinama domen često uklanja ceo kraj intervala ili čak čitavu granu.
Pogrešan smer za \(0<a<1\)
Logaritamska funkcija tada opada, pa se znak obrće. Ovo nije trik, nego posledica monotonosti.
Ubacivanje nule u rešenje
Ako argument logaritma postane \(0\), ta tačka nikad ne može da pripada rešenju, bez obzira na \(\le\) ili \(\ge\).
Spajanje logaritama bez uslova
Pravila sabiranja i oduzimanja važe u domenu, ne u „vakuumu“.
Pogrešno otvaranje ili zatvaranje krajeva
Strogi znak daje otvoren kraj, nestriktni zatvoren, ali domen može da taj kraj ipak izbaci.
Zadržavanje celog algebarskog intervala
Nakon kvadratne nejednačine po \(x\) ili po nekoj smeni, konačan odgovor nije gotov dok se ne preseče sa domenom.
Veza sa prijemnim zadacima
Prijemni algoritam koji vredi zapamtiti
U realnom zadatku ne traži se „lep stil“, nego pouzdana procedura. Sledeći redosled je dovoljno robustan za veliku većinu zadataka.
Algoritam od pet koraka
- Odredi domen svih logaritama.
- Proveri da li je baza veća od \(1\) ili između \(0\) i \(1\).
- Primeni odgovarajuće pravilo čuvanja ili obrtanja znaka.
- Reši dobijenu linearnu ili kvadratnu nejednačinu.
- Na kraju preseci dobijeni skup sa domenom.
Šta se najčešće proverava
- Da li znaš da se znak obrće za baze tipa \(\tfrac{1}{2}\), \(\tfrac{1}{3}\), \(\tfrac{1}{4}\).
- Da li umeš da nacrtaš ili zamisliš interval na brojnoj pravoj.
- Da li pravilno spajaš logaritme u jedan izraz.
- Da li umeš da iz konačnog intervala odbaciš delove van domena.
Vežbe
Probaj samostalno, pa proveri intervale i krajeve
Vežbe su namerno mešane: neke traže samo monotonost, a neke i domen i spajanje logaritama.
Vežba 1
Reši: \(\log_2(x+3)\ge 2\).
Rešenje
Domen je \(x>-3\). Pošto je baza veća od \(1\), znak se čuva: \(x+3\ge 4\), pa je \(x\ge 1\). Konačno \(S=[1,\infty)\).
Vežba 2
Reši: \(\log_{\frac{1}{2}}(x-1)<1\).
Rešenje
Domen je \(x>1\). Baza je između \(0\) i \(1\), pa se znak obrće: \(x-1>\tfrac{1}{2}\). Zato je \(x>\tfrac{3}{2}\). Konačno \(S=\left(\tfrac{3}{2},\infty\right)\).
Vežba 3
Reši: \(\log_3(x-4)\le \log_3(10-x)\).
Rešenje
Domen: \(4<x<10\). Pošto je \(3>1\), znak se čuva: \(x-4\le 10-x\), pa je \(x\le 7\). Presek sa domenom daje \(S=(4,7]\).
Vežba 4
Reši: \(\log_{\frac{1}{3}}(x+1)\ge \log_{\frac{1}{3}}(5-x)\).
Rešenje
Domen: \(-1<x<5\). Baza je manja od \(1\), pa se znak obrće: \(x+1\le 5-x\). Dakle \(2x\le 4\), odnosno \(x\le 2\). Konačno \(S=(-1,2]\).
Vežba 5
Reši: \(\log_2(x-1)+\log_2(x-5)>3\).
Rešenje
Domen je \(x>5\). Spajanjem dobijamo \(\log_2((x-1)(x-5))>3\), pa \((x-1)(x-5)>8\). To je \(x^2-6x-3>0\), sa nulama \(3\pm 2\sqrt{3}\).
Rešenje kvadratne nejednačine je \((-\infty,3-2\sqrt{3})\cup(3+2\sqrt{3},\infty)\), a presek sa domenom daje \(S=(3+2\sqrt{3},\infty)\).
Vežba 6
Reši: \(\log_4(x)<\log_4(9-x)\).
Rešenje
Domen: \(0<x<9\). Baza je veća od \(1\), pa je \(x<9-x\). Dobija se \(2x<9\), odnosno \(x<\tfrac{9}{2}\). Konačno \(S=\left(0,\tfrac{9}{2}\right)\).
Vežba 7
Reši: \(\log_{\frac{1}{2}}(x+2)\le \log_{\frac{1}{2}}(6-x)\).
Rešenje
Domen: \(-2<x<6\). Baza je manja od \(1\), pa se znak obrće: \(x+2\ge 6-x\). Dakle \(2x\ge 4\), odnosno \(x\ge 2\). Konačno \(S=[2,6)\).
Vežba 8
Reši: \(\log_3(x-2)-\log_3(x-5)\le 1\).
Rešenje
Domen je \(x>5\). Razliku pretvaramo u količnik: \(\log_3\frac{x-2}{x-5}\le 1\). Pošto je baza veća od \(1\), važi \(\frac{x-2}{x-5}\le 3\). Rešavanjem dobijamo \(x\ge \frac{13}{2}\). Presek sa domenom daje \(S=\left[\frac{13}{2},\infty\right)\).
Završni uvid
Najvažnija rečenica cele lekcije
Baza određuje smer, domen određuje šta od toga sme da ostane
\[\boxed{\text{baza određuje smer, domen određuje šta od toga sme da ostane}}\]
Ako ovo zaista usvojiš, logaritamske nejednačine prestaju da budu „haotične“. Postaju predvidljiv niz odluka koji uvek možeš da kontrolišeš.
Posle ove lekcije logaritamska oblast je zaokružena: pojam, grafik, jednačine i nejednačine sada čine jednu celinu.
Rezime
Šta moraš da zapamtiš
1. Domen ide prvi
Sve argumente postavljaš strogo pozitivno i odmah formiraš zajednički domen.
2. Baza određuje smer
Za \(a>1\) znak se čuva, a za \(0<a<1\) obrće.
3. Algebra dolazi posle toga
Tek kada rešiš pitanje domena i monotonosti, prelaziš na linearnu, kvadratnu ili racionalnu nejednačinu.
4. Konačan odgovor je presek
Algebarsko rešenje samo po sebi nije dovoljno. Na kraju se uvek vraćaš na domen početne funkcije.