Kako da rešiš nejednačine oblika ax²+bx+c ≷ 0 i da ih povežeš sa grafikom parabole.
Matoteka · Centar znanja · Lekcija 22
Kvadratne nejednačine znak parabole, intervali i parametri
Kada na prijemnom vidiš kvadratnu nejednačinu, cilj nije da mehanički nađeš korene pa nešto napišeš oko njih. Cilj je da iz dve informacije, znaka koeficijenta a i položaja nula, odmah pročitaš gde je parabola iznad, a gde ispod x-ose. Tada rešenje postaje logično, a ne napamet naučen šablon.
Da zaboraviš da se kod a<0 raspored znakova obrće, ili da pogrešno uključiš krajeve intervala.
Parametarski zadaci tipa „odredi m tako da je trinom uvek pozitivan" ili „uvek nepozitivan".
60 do 75 minuta sa detaljnim primerima i interaktivnim delom.
Lekcije 19, 20 i 21: parabola, diskriminanta, nule i osnovni rad sa kvadratnim trinomom.
Da iz Δ i znaka a odmah odrediš gde je trinom pozitivan, a gde negativan.
Canvas laboratorija koja istovremeno prikazuje parabolu i obojeni skup rešenja na brojevnoj pravoj.
Brza navigacija
Kretanje kroz lekciju
Najstabilniji redosled je: zašto ova tema postoji, kako se nalazi modul i argument, kako se prelazi između oblika, pa tek onda Moivreova formula i koreni.
Zašto je ova lekcija važna
Kvadratna nejednačina je brza provera da li razumeš parabolu
Ova tema se na prijemnom javlja direktno, ali i kao skriven korak posle smene, faktorizacije ili sređivanja složenijeg zadatka. Učenik koji vidi sliku parabole rešava brže i sigurnije od učenika koji pamti samo jednu šemu.
Ne tražiš intervale naslepo
Čim znaš da li je parabola otvorena naviše ili naniže i gde seče \(x\)-osu, znaš i raspored znaka celog trinoma.
Grafik sprečava pogrešan izbor intervala
Kada vizuelno povežeš trinom sa parabolom, manje su šanse da zameniš „unutra" i „spolja", ili da zaboraviš krajeve.
Posebno važna za parametre
Uslovi tipa „uvek pozitivno" i „uvek negativno" praktično su test da li razumeš \(\Delta\), smer otvaranja i dodir sa \(x\)-osom.
Prava intuicija
Kvadratna nejednačina nije „još jedan račun", već pitanje gde se parabola nalazi u odnosu na \(x\)-osu.
Osnovni model
Šta zapravo rešavamo kada pišemo ax²+bx+c ≷ 0
Umesto da razmišljaš samo o simbolima nejednakosti, posmatraj funkciju f(x)=ax²+bx+c. Zadatak je da pronađeš sve one vrednosti x za koje je f(x) pozitivna, negativna, nenegativna ili nepozitivna.
Kvadratna nejednačina
Standardni oblik je
\[ax^2+bx+c \gtrless 0, \qquad a \ne 0.\]
Najvažnije je da trinom bude sveden na jednu stranu, a nula na drugu.
Tražiš znak funkcije
Ako rešavaš \(ax^2+bx+c>0\), pitaš se: za koje \(x\) je vrednost funkcije iznad nule? Kod \(ax^2+bx+c \le 0\) pitaš se gde je grafik na ili ispod \(x\)-ose.
Parabola je glavni vodič
Nule trinoma su preseci parabole sa \(x\)-osom. Znak \(a\) govori da li se parabola otvara naviše ili naniže. Te dve informacije daju kompletnu sliku znaka.
\[f(x)=ax^2+bx+c \quad\Longrightarrow\quad \text{rešavanje nejednačine svodi se na ispitivanje znaka funkcije } f(x).\]
Važna navika
Pre bilo kakvog zapisivanja intervala, najpre reci sebi naglas: „Tražim gde je parabola iznad ili ispod \(x\)-ose."
Mikro-provera: da li je rešenje kvadratne nejednačine jedan broj ili skup brojeva?
Po pravilu je to skup realnih brojeva, najčešće jedan interval, unija dva intervala, ceo \(\mathbb{R}\), prazni skup ili ponekad samo jedna tačka.
Postupak
Najsigurniji redosled koraka na papiru
Ovaj redosled je napravljen baš za prijemni: kratak je, sistematičan i čuva te od najčešćih grešaka. Ako ga dosledno primenjuješ, retko ćeš promašiti znak.
Koraci rešavanja
1
Sredi nejednačinu na nulu
Prvo prebacuješ sve na jednu stranu da dobiješ oblik \(ax^2+bx+c \gtrless 0\). Tek tada čitaš koeficijente \(a\), \(b\), \(c\).
2
Odredi diskriminantu i nule
Izračunaj \(\Delta=b^2-4ac\). Ako postoje realne nule, obavezno ih poredi kao \(x_1<x_2\).
3
Pogledaj znak koeficijenta \(a\)
\(a>0\) znači parabola naviše, \(a<0\) znači parabola naniže. Ovo odlučuje koji delovi su pozitivni, a koji negativni.
4
Odredi intervale znaka
Kada postoje dve nule, realna osa se deli na tri dela: levo od \(x_1\), između \(x_1\) i \(x_2\), i desno od \(x_2\).
5
Na kraju proveri krajeve
Kod \(>\) i \(<\) nule se ne uključuju. Kod \(\ge\) i \(\le\) uključuju se samo ako stvarno zadovoljavaju nejednakost, a kod kvadratnog trinoma to su upravo nule.
Brza kontrolna lista
Šta proveravaš pred upis konačnog odgovora:
- Da li su nule dobro izračunate i poređane?
- Da li si uzeo u obzir znak \(a\)?
- Da li si pravilno pročitao „unutra" ili „spolja"?
- Da li su krajevi uključeni samo kod \(\ge\) i \(\le\)?
- Da li je moguće da je rešenje ceo \(\mathbb{R}\) ili prazan skup?
Mikro-provera: ako su nule 5 i 1, smeš li odmah zapisati interval (5,1)?
Ne. Prvo ih poredaš: \(x_1=1\), \(x_2=5\). Interval uvek pišeš od manjeg ka većem broju, dakle \((1,5)\).
Glavni slučajevi
Kako Δ i znak a menjaju skup rešenja
Ovo je srce lekcije. Kada te pita neko „kako znaš da je rešenje spolja", pravi odgovor nije „tako se pamti", nego: „zato što je parabola otvorena naviše i seče osu u dve tačke".
Dve nule i parabola naviše
\[x_1<x_2,\quad f(x)>0 \text{ za } x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,\infty)\]
\(\Delta>0\), \(a>0\): pozitivno je spolja, negativno unutra. Ovo je najčešći „osnovni" slučaj na prijemnom.
Dve nule i parabola naniže
\[x_1<x_2,\quad f(x)>0 \text{ za } x\in(x_1,x_2)\]
\(\Delta>0\), \(a<0\): raspored je obrnut u odnosu na prethodni slučaj, baš zato što se smer otvaranja promenio.
Parabola dodiruje osu odozgo
\[f(x)\ge 0 \text{ za svaki } x\in\mathbb{R},\quad f(x)=0 \text{ samo u } x_0\]
\(\Delta=0\), \(a>0\): za \(f(x)>0\) rešenje je \(\mathbb{R}\setminus\{x_0\}\), dok je za \(f(x)\le 0\) rešenje samo \(\{x_0\}\).
Parabola dodiruje osu odozdo
\[f(x)\le 0 \text{ za svaki } x\in\mathbb{R},\quad f(x)=0 \text{ samo u } x_0\]
\(\Delta=0\), \(a<0\): za \(f(x)<0\) rešenje je \(\mathbb{R}\setminus\{x_0\}\), a za \(f(x)\ge 0\) samo tačka dodira.
Nema realnih nula, parabola iznad ose
\[f(x)>0 \text{ za svaki } x\in\mathbb{R},\quad f(x)<0 \text{ nema rešenja}\]
\(\Delta<0\), \(a>0\): tipičan model za zadatak „odredi parametar da trinom bude strogo pozitivan za svako realno \(x\)".
Nema realnih nula, parabola ispod ose
\[f(x)<0 \text{ za svaki } x\in\mathbb{R},\quad f(x)>0 \text{ nema rešenja}\]
\(\Delta<0\), \(a<0\): „negativna" analogija prethodnog slučaja i jednako je važna u parametarskim zadacima.
Mikro-provera: zašto iz x² ≥ 0 za svaki x ne sledi i x² > 0 za svaki x?
Zato što u tački \(x=0\) važi \(x^2=0\). Dakle, „nenegativno" može važiti za sve realne brojeve, a „strogo pozitivno" ne mora.
Parametarske nejednačine
Kada je kvadratni trinom uvek pozitivan ili uvek negativan
Ovo je jedan od najvažnijih prijemnih šablona. Formulacija „za svako realno x" znači da ne tražiš samo poneki interval, nego globalno ponašanje cele parabole.
ax²+bx+c > 0 za svako x ∈ ℝ
\[a>0 \quad \text{i} \quad \Delta<0\]
Parabola mora biti otvorena naviše i ne sme ni da dotakne x-osu.
ax²+bx+c ≥ 0 za svako x ∈ ℝ
\[a>0 \quad \text{i} \quad \Delta\le 0\]
Dozvoljeno je da parabola dodirne osu u jednoj tački, ali ne i da je seče.
ax²+bx+c < 0 za svako x ∈ ℝ
\[a<0 \quad \text{i} \quad \Delta<0\]
Parabola je otvorena naniže i cela mora ostati ispod x-ose.
ax²+bx+c ≤ 0 za svako x ∈ ℝ
\[a<0 \quad \text{i} \quad \Delta\le 0\]
Dodir sa osom je dozvoljen, ali sečenje nije.
Zašto je uslov na a obavezan
Znak \(a\) određuje „krajeve" parabole. Ako je \(a>0\), za velike \(|x|\) trinom raste ka \(+\infty\). Zato samo tada postoji šansa da bude svuda pozitivan ili nenegativan. Ako je \(a<0\), za velike \(|x|\) ide ka \(-\infty\), pa tada može biti svuda negativan ili nepozitivan.
Strogo vs. nestrogo
Zašto se kod \(>\) i \(<\) traži baš \(\Delta<0\)? Ako je \(\Delta=0\), parabola dodiruje \(x\)-osu u jednoj tački. U toj tački je vrednost nula, pa stroga nejednakost ne može važiti za svaki realan broj.
Mikro-provera: zašto uslov Δ ≤ 0 nije dovoljan za „uvek pozitivno“?
Nije dovoljan zato što kod \(\Delta=0\) postoji tačka u kojoj je trinom jednak nuli. To je dobro za \(\ge 0\), ali nije dobro za \(> 0\).
Interaktivna laboratorija
Menjaj koeficijente i gledaj kako se menja skup rešenja
Ovaj deo je tu da spoji algebru i sliku. Nule se ovde prikazuju približno decimalno, jer laboratorija služi intuiciji; u rešenju zadatka i dalje pišeš tačan oblik kad god je moguć.
Pode\u0161avanje modela
Trenutna nejednačina
\(1x^2 - 5x + 6 > 0\)
Kako da čitaš laboratoriju
Šta vidiš na slici
- Narandžasta kriva je parabola y = ax² + bx + c.
- Plave tačke su realne nule, a žuta tačka je teme parabole.
- Narandžasti pojas pri dnu canvasa pokazuje gde je nejednačina ispunjena na brojevnoj pravoj.
Canvas prikaz
Parabola i skup re\u0161enja u istoj slici
Za dobru intuiciju gledaj istovremeno gde je parabola u odnosu na x-osu i koje delove brojevne prave boji narandžasti pojas.
Prazan narandžasti pojas znači da nejednačina nema rešenja. Popunjen pojas od ivice do ivice znači da je rešenje ceo R.
Parabola je otvorena naviše i seče x-osu u dve tačke, pa je pozitivna spolja, a negativna između nula.
Pošto postoje dve realne nule, ovaj trinom menja znak i zato ne može biti svuda istog strogog znaka.
Vođeni primeri
Detaljno rešavanje tipičnih zadataka
U svakom primeru namerno pratimo isti redosled: sredi, pronađi nule ili odredi da ih nema, pogledaj znak a, pa tek onda piši intervale.
Primer 1: Reši \(x^2-5x+6>0\)
1
Faktoriši.
\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\]
Nule su \(x_1=2\) i \(x_2=3\).
2
Odredi smer parabole.
Pošto je \(a=1>0\), parabola je otvorena naviše. Zato je trinom pozitivan spolja, a negativan između nula.
3
Zaključak.
Tražimo strogo \(>0\), pa krajevi ne ulaze u rešenje.
\[S=(-\infty,2)\cup(3,\infty).\]
Primer 2: Reši \(-x^2+x+2\le 0\)
1
Faktoriši.
\[-x^2+x+2=-(x-2)(x+1)\]
Nule su \(x_1=-1\) i \(x_2=2\).
2
Smer parabole.
Pošto je \(a=-1<0\), parabola je otvorena naniže. Izraz je nepozitivan spolja, a pozitivan između nula.
3
Zaključak.
Tražimo \(\le 0\), uključujemo i krajeve.
\[S=(-\infty,-1]\cup[2,\infty).\]
Primer 3: Reši \(x^2+4x+5\ge 0\)
1
Računamo diskriminantu.
\[\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4<0\]
2
Smer parabole.
Pošto nema realnih nula i \(a=1>0\), cela parabola je iznad \(x\)-ose.
3
Zaključak.
Tražimo \(\ge 0\), pa su svi realni brojevi dozvoljeni.
\[S=\mathbb{R}.\]
Primer 4: Odredi \(m\) tako da je \(x^2-2(m+1)x+m^2+1>0\) za svako \(x\in\mathbb{R}\)
1
Uslov za „uvek pozitivno".
Treba da važi \(a>0\) i \(\Delta<0\). Ovde je \(a=1>0\), pa ostaje uslov na diskriminantu.
2
Računamo Δ.
\[\Delta=[-2(m+1)]^2-4\cdot 1\cdot (m^2+1)=4(m+1)^2-4m^2-4=8m\]
3
Zaključak.
Tražimo \(8m<0\), pa dobijamo:
\[m<0.\]
Ključne formule i pravila
Šta vredi zapamtiti kao sažetak lekcije
Ne pamti napamet deset različitih rečenica. Zapamti nekoliko čvrstih principa i iz njih izvedi svaki konkretan slučaj.
Standardni oblik
\[ax^2+bx+c \gtrless 0, \qquad a\ne 0\]
Bez ovog sređivanja ne možeš pouzdano čitati koeficijente i znak parabole.
Diskriminanta
\[\Delta=b^2-4ac\]
\(\Delta>0\): dve nule, \(\Delta=0\): jedna dvostruka nula, \(\Delta<0\): nema realnih nula.
Nule
\[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\]
Kod nejednačina su nule prelomne tačke na brojevnoj pravoj.
Parabola naviše (a > 0)
\[\text{pozitivno spolja, negativno unutra}\]
Važi kada postoje dve realne nule \(x_1<x_2\).
Parabola naniže (a < 0)
\[\text{pozitivno unutra, negativno spolja}\]
Ovo je potpuno obrnuto od slučaja \(a>0\).
Globalni uslovi
\[\begin{aligned}&f(x)>0 \iff a>0,\ \Delta<0,\\&f(x)\ge 0 \iff a>0,\ \Delta\le 0,\\&f(x)<0 \iff a<0,\ \Delta<0,\\&f(x)\le 0 \iff a<0,\ \Delta\le 0.\end{aligned}\]
Ovo je najvažniji blok za parametarske zadatke.
Česte greške
Greške koje na prijemnom najviše koštaju
Ovo nisu generički saveti. Ovo su tipične konkretne greške zbog kojih učenik izgubi poene i kad zna teoriju.
Pogrešno uključivanje krajeva
Kod \(>\) i \(<\) nule se ne uključuju. Kod \(\ge\) i \(\le\) uključuju se. Upravo na ovome pada mnogo tačnih postupaka.
Zaboravljen znak koeficijenta \(a\)
Učenik tačno nađe nule, ali onda automatski napiše „pozitivno spolja". To važi samo ako je \(a>0\).
\(\Delta<0\) tumači kao „nema rešenja"
To nije tačno. Ako je \(a>0\), onda je \(f(x)>0\) za svaki \(x\). Ako je \(a<0\), onda je \(f(x)<0\) za svaki \(x\).
Ne poreda nule pre pisanja intervala
Uvek pišeš \(x_1<x_2\). Interval mora da bude zapisan od manjeg ka većem broju.
Meša „za neko x" i „za svako x"
Parametarski zadatak sa formulacijom „za svako realno \(x\)" traži globalni položaj cele parabole, a ne samo postojanje jednog intervala.
Piše odgovor bez kratke logike
Na težim zadacima korisno je upisati jednu rečenicu: „\(a>0\), dve nule, zato je izraz pozitivan spolja." To smanjuje rizik od omaške.
Veza sa prijemnim
Kako se ova tema tipično pojavljuje na ispitu
Na prijemnom se kvadratna nejednačina retko tretira kao „čist školski zadatak". Često je deo većeg problema ili test preciznosti u radu sa parametrima.
Trinom je već spreman
Dobiješ npr. \(2x^2-7x+3\ge 0\) i od tebe se očekuje brzo, uredno rešavanje uz pravilne intervale i krajeve.
Nastaje posle smene ili sređivanja
Posle zamene \(t=2^x\), \(\log_a x\) ili sličnog koraka često dobiješ upravo kvadratnu nejednačinu u novoj promenljivoj.
Globalni uslov na trinom
Traži se vrednost parametra tako da je trinom uvek pozitivan, uvek negativan ili da nema realnih nula. Tu se proverava pravo razumevanje.
Ispitni redosled od 10 sekundi
Sredi na nulu, izračunaj \(\Delta\), pogledaj znak \(a\), uporedi sa znakom nejednakosti, tek onda napiši skup rešenja.
Vežbe na kraju
Proveri da li stvarno vladaš temom
Rešenja otvaraj tek kada probaš samostalno. Najveća korist dolazi iz toga da prvo sam napraviš skicu znaka parabole.
Vežba 1
Reši \(x^2-7x+10\ge 0\).
Rešenje
Faktorišemo: \(x^2-7x+10=(x-2)(x-5)\). Nule su \(2\) i \(5\), a \(a=1>0\), pa je izraz nenegativan spolja, uz uključene krajeve:
\[S=(-\infty,2]\cup[5,\infty).\]
Vežba 2
Reši \(-x^2+4x-3>0\).
Rešenje
Imamo \(-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)\). Nule su \(1\) i \(3\), a pošto je \(a=-1<0\), izraz je pozitivan između nula:
\[S=(1,3).\]
Vežba 3
Reši \(2x^2+8x+10<0\).
Rešenje
Diskriminanta je \(\Delta=8^2-4\cdot 2\cdot 10=64-80=-16<0\). Kako je \(a=2>0\), parabola je cela iznad \(x\)-ose. Zato strogo negativnih vrednosti nema:
\[S=\varnothing.\]
Vežba 4
Odredi \(m\) tako da je \(x^2-2mx+m+1>0\) za svako \(x\in\mathbb{R}\).
Rešenje
Za „uvek pozitivno" tražimo \(a>0\) i \(\Delta<0\). Ovde je \(a=1>0\), pa računamo:
\[\Delta=(-2m)^2-4\cdot 1\cdot (m+1)=4m^2-4m-4\]
Uslov je
\[4m^2-4m-4<0 \iff m^2-m-1<0.\]
Nule kvadratnog izraza su \(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) i \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\), pa je
\[m\in\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right).\]
Vežba 5
Reši \(x^2-6x+9\le 0\).
Rešenje
To je \((x-3)^2\le 0\). Kvadrat je uvek nenegativan, pa može biti \(\le 0\) samo kada je jednak nuli, odnosno za \(x=3\).
\[S=\{3\}.\]
Vežba 6
Odredi za koje \(m\) važi \(-x^2+mx-4\le 0\) za svako \(x\in\mathbb{R}\).
Rešenje
Za „uvek nepozitivno" treba da važi \(a<0\) i \(\Delta\le 0\). Prvi uslov je već ispunjen, jer je \(a=-1\). Računamo:
\[\Delta=m^2-4\cdot (-1)\cdot (-4)=m^2-16\]
Potrebno je
\[m^2-16\le 0 \iff -4\le m\le 4.\]
Znak trinoma ne pogađaš. Čitaš ga sa parabole.
Ako znaš gde su nule i u kom smeru je parabola otvorena, cela priča o kvadratnoj nejednačini postaje pregledna. U tom trenutku zadatak više nije memorisanje, nego čitanje slike.
\[\text{znak }(ax^2+bx+c) = \text{položaj parabole } y=ax^2+bx+c \text{ u odnosu na } x\text{-osu}\]
Završni rezime
Šta moraš da zapamtiš posle ove lekcije
Pred prijemni ti ne treba duga teorija, nego nekoliko stabilnih oslonaca koje nećeš pomešati pod pritiskom vremena.
1. Kvadratna nejednačina je pitanje znaka funkcije
Uvek misliš o paraboli \(y=ax^2+bx+c\): gde je iznad, gde ispod i da li dodiruje \(x\)-osu.
2. Znak \(a\) i položaj nula
Te dve stvari određuju gotovo sve: unutrašnje/spoljašnje intervale, ceo \(\mathbb{R}\), prazan skup ili jednu tačku.
3. Krajevi prave razliku
Kod \(>\) i \(<\) nule ne ulaze, kod \(\ge\) i \(\le\) ulaze. To je sitnica koja odlučuje tačnost konačnog odgovora.
4. „Za svako realno x" znači globalni uslov
Zapamti blok uslova sa znakom \(a\) i diskriminantom. To je najbrži put kroz parametarske zadatke.
5. Nacrtaj grubu skicu
Dovoljna je vrlo gruba parabola sa nulama i smerom otvaranja. Često upravo skica vrati sigurnost u konačan izbor intervala.
6. Poveži ovo sa složenijim zadacima
Ova logika se odmah koristi u sistemima kvadratnih jednačina, eksponencijalnim i logaritamskim zadacima posle smene, kao i u parametrima.