Kako se prelazi između centralne i opšte jednačine i kako se iz uslova gradi kružnica.
Matoteka · Centar znanja · Lekcija 51
Kružnica i uslov dodira prave i kružnice
Kada vidiš kružnicu na prijemnom, skoro nikada nije dovoljno samo prepoznati formulu. Moraš da znaš da pročitaš centar i poluprečnik, da iz geometrijskih uslova sastaviš jednačinu i da shvatiš zašto je tangenta poseban položaj u kome je rastojanje centra od prave tačno jednako poluprečniku.
Uslov dodira nije samo "jedno rešenje", već i formula rastojanja sa apsolutnom vrednošću.
Tangente paralelne datoj pravoj, kružnice tangentne na ose i zadaci sa parametrom.
65 do 85 minuta
Prava i rastojanje tačke od prave, implicitni oblik
Prevedi geometriju u sistem iz dodira i položaja centra
Canvas laboratorija za centar, poluprečnik i pravu
Brza navigacija
Kretanje kroz lekciju
Najstabilniji redosled je: zašto ova tema postoji, kako se nalazi modul i argument, kako se prelazi između oblika, pa tek onda Moivreova formula i koreni.
Zašto je ova lekcija važna
Kružnica je prvi pravi most između geometrije i algebre
Ova tema je važna zato što u istoj jednačini držiš i geometrijsku sliku i algebarski račun. Na prijemnom se vrlo često ne traži samo da prepoznaš kružnicu, već da iz nekoliko uslova sastaviš njenu jednačinu ili da nađeš tangentu. Tu pobeđuje učenik koji ume da misli u dva jezika: u koordinatama i u formulama.
Gde se javlja kasnije
Kružnica je najjednostavnija kriva drugog reda. Ako nju razumeš do kraja, mnogo lakše prelaziš na elipsu, hiperbolu i parabolu, jer se i tamo stalno kombinuju geometrijski uslovi, analitički zapis i uslovi dodira.
- U analitičkoj geometriji: tangentne prave, položaj tačke i prelaz između oblika jednačine.
- U zadacima sa parametrom: često se traži da odrediš parametar tako da prava bude tangenta.
- U konstrukcionim zadacima: nepoznate su obično koordinate centra i poluprečnik.
Šta prijemni stvarno proverava
Prijemni retko nagrađuje puko pamćenje. On proverava da li umeš da prepoznaš šta je nepoznato i koja formula baš taj uslov prevodi u jednačinu. Zato je ključna navika da svaku rečenicu iz teksta zadatka odmah pretvoriš u jedan matematički uslov.
- “Kružnica dodiruje \(x\)-osu” znači da je rastojanje centra od \(x\)-ose jednako \(r\).
- “Kružnica prolazi kroz tačku \(P\)” znači da koordinate te tačke zadovoljavaju jednačinu kružnice.
- “Prava je tangenta” znači da je rastojanje centra od prave jednako poluprečniku.
Najvažnija misaona promena
Tangenta nije posebna nova formula, nego poseban položaj prave u odnosu na kružnicu. Zato se mnogo zadataka rešava zdravom geometrijskom idejom, a tek onda algebarskim računom.
Mikro-provera: koji je prvi korak kada zadatak kaže "nađi jednačinu kružnice"?
Prvi korak nije odmah širenje zagrada, nego izbor nepoznatih. Najčešće uzimaš centar \(C(a,b)\) i poluprečnik \(r\), pa tek onda svaku datu informaciju prevodiš u jednačinu za \(a\), \(b\) i \(r\).
Osnovni modeli
Kako izgleda kružnica u koordinatnom sistemu
Kružnica je skup svih tačaka u ravni koje su od jednog fiksnog centra udaljene za isti iznos r. Ta definicija već sama vodi do centralne jednačine. Opšti oblik dobijaš kada razviješ kvadrate i središ članove.
Centralna jednačina
Ako je centar kružnice \(C(a,b)\), a poluprečnik \(r>0\), onda svaka tačka \(M(x,y)\) na kružnici zadovoljava uslov da je rastojanje \(CM\) jednako \(r\).
\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]
Ovo je najbolji oblik kada treba brzo da pročitaš centar i poluprečnik. Iz jednačine odmah vidiš:
- centar je \(C(a,b)\)
- poluprečnik je \(r\)
- znaci u zagradama često zbune: u jednačini \(x-3\) odgovara koordinata \(3\), a u jednačini \(y+2\) odgovara koordinata \(-2\)
Opšta jednačina
Kada razviješ kvadrate iz centralnog oblika, dobijaš opšti oblik kružnice:
\[x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\]
Za kružnicu je važno da su koeficijenti uz \(x^2\) i \(y^2\) jednaki, a da nema člana \(xy\). Prelaz nazad u centralni oblik radi se kompletiranjem kvadrata:
\[x^2+Dx=\left(x+\tfrac{D}{2}\right)^2-\tfrac{D^2}{4}, \qquad y^2+Ey=\left(y+\tfrac{E}{2}\right)^2-\tfrac{E^2}{4}\]
\[\left(x+\tfrac{D}{2}\right)^2+\left(y+\tfrac{E}{2}\right)^2=\tfrac{D^2+E^2}{4}-F\]
Odavde odmah sledi:
\[C\!\left(-\tfrac{D}{2},-\tfrac{E}{2}\right), \qquad r=\sqrt{\tfrac{D^2+E^2}{4}-F}\]
Primer 1: brzo čitanje
Iz \((x-3)^2+(y+2)^2=16\) čitaš centar \(C(3,-2)\) i poluprečnik \(r=4\).
Primer 2: kompletiranje kvadrata
Iz \(x^2+y^2-6x+4y-12=0\) dobijaš \((x-3)^2+(y+2)^2=25\), pa je \(C(3,-2)\), \(r=5\).
Kontrola smisla
Ako posle sređivanja dobiješ \(r^2<0\), onda ne postoji realna kružnica. Ako je \(r^2=0\), dobijaš degenerisan slučaj: jednu tačku.
Mikro-provera: zašto izraz x^2+y^2+2x-4y+1=0 može biti kružnica, a 2x^2+y^2-4=0 ne?
U prvom izrazu su koeficijenti uz \(x^2\) i \(y^2\) jednaki i nema člana \(xy\), pa posle sređivanja dobijaš kružnicu. U drugom izrazu koeficijenti uz \(x^2\) i \(y^2\) nisu jednaki, pa ne dobijaš kružnicu nego drugu krivu drugog reda.
Uslov dodira
Tangenta nastaje kada rastojanje centra od prave postane baš poluprečnik
Ako je data kružnica sa centrom C(a,b) i poluprečnikom r, a prava p: Ax+By+C=0, onda sve zavisi od rastojanja centra od te prave. To rastojanje određuje da li prava seče kružnicu, dodiruje je ili je potpuno spoljašnja.
Geometrijsko tumačenje
Iz centra kružnice povuci normalu na pravu. Njeno podnožje označi sa \(H\). Tada duž \(CH\) predstavlja najmanje rastojanje centra od prave.
\[d(C,p)=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]
Sada dobijaš tri položaja:
- Ako je \(d<r\), prava seče kružnicu u dve tačke.
- Ako je \(d=r\), prava je tangenta.
- Ako je \(d>r\), prava nema zajedničkih tačaka sa kružnicom.
Algebarsko tumačenje preko diskriminante
Ako je prava data u obliku \(y=mx+n\), često je zgodno zameniti taj izraz u jednačinu kružnice. Dobija se kvadratna jednačina po \(x\) ili po \(y\). Tangenta znači da sistem ima tačno jedno rešenje.
\[\Delta = 0\]
Ovaj pristup je posebno koristan kada tražiš pravu sa nepoznatim nagibom \(m\), na primer tangente kroz zadatu spoljašnju tačku. Tada diskriminanta prirodno daje jednačinu za parametar.
Na prijemnom važi praktično pravilo:
- ako je prava već data u implicitnom obliku, najbrži je uslov rastojanja
- ako je prava data kao familija \(y=mx+n\), diskriminanta je često preglednija
Sečica
Kada je \(d(C,p)<r\), prava prolazi kroz unutrašnjost kružnice i dobijaš dve presečne tačke.
Tangenta
Kada je \(d(C,p)=r\), prava ima tačno jednu zajedničku tačku sa kružnicom i normalna je na odgovarajući poluprečnik.
Spoljašnja prava
Kada je \(d(C,p)>r\), prava je predaleko od centra i kružnica je ne dodiruje.
Paralelne tangente
Ako tražiš tangente paralelne datoj pravoj \(Ax+By+C_0=0\), ne menjaš koeficijente \(A\) i \(B\). Menjaš samo slobodan član i posmatraš familiju \(Ax+By+\lambda=0\). Paralelne prave imaju isti normalni vektor.
Mikro-provera: zašto je apsolutna vrednost obavezna u formuli za rastojanje?
Zato što izraz \(Aa+Bb+C\) može biti i pozitivan i negativan, u zavisnosti sa koje strane prave leži centar. Rastojanje nikada ne može biti negativno, pa zato mora da stoji apsolutna vrednost.
Konstrukcioni modeli
Kako iz uslova sastavljaš jednačinu kružnice
Veliki broj prijemnih zadataka svodi se na isto: neka su nepoznati centar C(a,b) i poluprečnik r, pa svaku rečenicu iz zadatka pretvoriš u jedan uslov. Kružnica nastaje tek kada imaš dovoljno jednačina da odrediš a, b i r.
Dodir sa x-osom
Pošto je \(x\)-osa prava \(y=0\), važi \(|b|=r\). Ako je centar u prvom ili četvrtom kvadrantu, znak se određuje iz položaja centra.
Dodir sa y-osom
Pošto je \(y\)-osa prava \(x=0\), dobijaš \(|a|=r\). Ovo je posebno korisno kada kružnica dodiruje obe ose.
Prolazak kroz tačku
Ako kružnica prolazi kroz \(P(x_0,y_0)\), onda koordinate te tačke zadovoljavaju jednačinu: \((x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2\).
Dodir sa pravom
Za pravu \(Ax+By+C=0\) uslov je \(\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=r\). Ovaj uslov spaja geometriju i algebru u jednom potezu.
Dodir sa obe ose
Ako je centar u prvom kvadrantu, iz \(|a|=r\) i \(|b|=r\) sledi \(a=r\), \(b=r\). Zato je centar oblika \(C(r,r)\).
Broj rešenja
Konstrukcioni zadaci često daju dve kružnice. To se dešava kada ista tačka ili ista prava može da bude tangencijalno povezana sa dva različita poluprečnika.
Ispitna rutina u 4 koraka
- Uzmi centralni oblik \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), osim ako zadatak izričito traži opšti oblik na kraju.
- Označi nepoznate \(a\), \(b\) i \(r\), pa pročitaj svaku rečenicu kao geometrijski uslov.
- Prevedi uslove u jednačine: dodir sa osom, prolazak kroz tačku, dodir sa pravom, položaj centra.
- Tek posle rešavanja sistema po potrebi razvijaj zagrade i pređi u opšti oblik.
Mikro-provera: zašto kod "kružnica dodiruje obe ose i centar je u prvom kvadrantu" odmah pišemo C(r,r)?
Zato što su rastojanja centra od obe ose jednaka poluprečniku. U prvom kvadrantu su koordinate centra pozitivne, pa iz \(|a|=r\) i \(|b|=r\) sledi \(a=r\) i \(b=r\).
Vođeni primeri
Korak po korak: od čitanja jednačine do konstrukcije tangenti
U primerima ispod cilj nije samo konačan rezultat, već način razmišljanja. Obrati pažnju koje nepoznate biramo i zašto je neka metoda kraća od druge.
Primer 1: iz opšte jednačine pročitaj centar i poluprečnik
Odredi centar i poluprečnik kružnice \(x^2+y^2-6x+2y-6=0\).
1
Grupiši članove po promenljivama
Članove sa \(x\) i \(y\) razdvoji i prebaci slobodan član na drugu stranu:
\[x^2-6x+y^2+2y=6\]
2
Kompletiraj kvadrate
Za \(x^2-6x\) dodaješ \(9\), a za \(y^2+2y\) dodaješ \(1\). To moraš dodati na obe strane jednačine:
\[(x-3)^2+(y+1)^2=6+9+1=16\]
3
Pročitaj geometrijski smisao
Sada je jednačina u centralnom obliku, pa odmah čitaš:
\[C(3,-1), \qquad r=4\]
Primer 2: nađi tangente paralelne zadatoj pravoj
Nađi jednačine tangenti kružnice \((x-2)^2+(y+1)^2=25\) koje su paralelne pravoj \(3x-4y+1=0\).
1
Prepoznaj šta ostaje isto
Paralelne prave imaju iste koeficijente uz \(x\) i \(y\), pa tražene tangente imaju oblik:
\[3x-4y+\lambda=0\]
2
Pročitaj centar i poluprečnik
Iz jednačine kružnice dobijaš:
\[C(2,-1), \qquad r=5\]
3
Primeni uslov dodira
Za tangentu mora da važi rastojanje centra od prave jednako poluprečniku:
\[\frac{|3\cdot 2-4\cdot(-1)+\lambda|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=5\]
\[\frac{|10+\lambda|}{5}=5 \quad \Longrightarrow \quad |10+\lambda|=25\]
4
Dobij dve vrednosti
Apsolutna vrednost daje dva slučaja:
\[10+\lambda=25 \Rightarrow \lambda=15\]
\[10+\lambda=-25 \Rightarrow \lambda=-35\]
\[3x-4y+15=0 \qquad \text{i} \qquad 3x-4y-35=0\]
Primer 3: konstruiši kružnicu tangentnu obema osama
Nađi jednačinu kružnice čiji je centar u prvom kvadrantu, koja dodiruje obe ose i prolazi kroz tačku \(P(4,1)\).
1
Iskoristi dodir sa osama
Pošto je centar u prvom kvadrantu i kružnica dodiruje obe ose, važi:
\[C(r,r)\]
Zato je jednačina kružnice:
\[(x-r)^2+(y-r)^2=r^2\]
2
Uvrsti tačku kroz koju kružnica prolazi
Koordinate tačke \(P(4,1)\) moraju zadovoljiti jednačinu:
\[(4-r)^2+(1-r)^2=r^2\]
3
Sredi jednačinu po \(r\)
\[16-8r+r^2+1-2r+r^2=r^2\]
\[r^2-10r+17=0\]
\[r=\frac{10\pm\sqrt{100-68}}{2}=5\pm 2\sqrt{2}\]
4
Napiši obe kružnice
\[(x-(5+2\sqrt{2}))^2+(y-(5+2\sqrt{2}))^2=(5+2\sqrt{2})^2\]
\[(x-(5-2\sqrt{2}))^2+(y-(5-2\sqrt{2}))^2=(5-2\sqrt{2})^2\]
Primer 4: tangente kroz spoljašnju tačku preko diskriminante
Nađi tangente na kružnicu \(x^2+y^2=5\) koje prolaze kroz tačku \(A(0,3)\).
1
Napiši familiju pravih kroz zadatu tačku
Svaka prava kroz \(A(0,3)\) može da se zapiše kao:
\[y=kx+3\]
2
Uvrsti u jednačinu kružnice
\[x^2+(kx+3)^2=5\]
\[(1+k^2)x^2+6kx+4=0\]
3
Nametni uslov dodira
Tangenta znači da kvadratna jednačina ima jedno rešenje, pa je diskriminanta jednaka nuli:
\[\Delta=(6k)^2-4(1+k^2)\cdot 4=0\]
\[36k^2-16-16k^2=0\]
\[20k^2=16 \Rightarrow k^2=\frac{4}{5}\]
4
Zapiši obe tangente
\[k=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}\]
\[y=\frac{2}{\sqrt{5}}x+3 \qquad \text{i} \qquad y=-\frac{2}{\sqrt{5}}x+3\]
Ključne formule
Formula ne vredi mnogo bez kratkog značenja
Sledeće formule su jezgro cele lekcije. Ne uči ih kao odvojene činjenice, nego uz situaciju u kojoj ih koristiš.
Centralna jednačina
\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\]
Najbrže čitaš centar i poluprečnik. Ovo je polazni oblik za većinu konstrukcionih zadataka.
Opšta jednačina
\[x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\]
Posle kompletiranja kvadrata dobijaš centar \(\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)\) i poluprečnik \(\sqrt{\frac{D^2+E^2}{4}-F}\).
Rastojanje centra od prave
\[\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=r\]
Osnovni uslov da prava \(Ax+By+C=0\) bude tangenta na kružnicu sa centrom \(C(a,b)\).
Familija pravih
\[Ax+By+lambda=0\]
Ako su tangente paralelne zadatoj pravoj, koeficijenti \(A\) i \(B\) ostaju isti, a menja se samo \(\lambda\).
Tangenta na x^2+y^2=r^2
\[xx_1+yy_1=r^2\]
Brza formula kada znaš tačku dodira \(T(x_1,y_1)\) na kružnici sa centrom u koordinatnom početku.
Diskriminanta
\[Delta=0\]
Kada je prava data preko nepoznatog nagiba ili parametra, zamena u jednačinu kružnice i uslov Delta=0 često daju najkraći račun.
Česte greške
Greške koje se stalno ponavljaju i kako da ih presečeš
Ove greške nisu slučajne. Nastaju baš na mestima gde učenik krene na pamćenje umesto na razumevanje.
Zaboravljena apsolutna vrednost
U formuli za rastojanje mnogi pišu \(Aa+Bb+C\) umesto \(|Aa+Bb+C|\). Posledica je pogrešan znak i izgubljeno rešenje.
Pogrešno čitanje centra
Iz \((x-4)^2+(y+3)^2=9\) centar nije \((4,3)\), nego \((4,-3)\). Znak u zagradi se čita obrnuto.
Menjanje pogrešnih koeficijenata
Kod tangenti paralelnih zadatoj pravoj učenici menjaju i \(A\) i \(B\). To menja pravac prave. Za paralelnost menjaš samo slobodan član.
Prebrzo odbacivanje drugog rešenja
Konstrukcioni zadaci vrlo često daju dve kružnice. Ako ne proveriš oba znaka ili oba korena, lako ostaneš bez potpunog odgovora.
Kompletiranje kvadrata napola
Dodavanje \(9\) uz \(x^2-6x\) i \(1\) uz \(y^2+2y\) mora da bude uravnoteženo na drugoj strani. U suprotnom dobijaš pogrešan poluprečnik.
Mešanje \(r\) i \(r^2\)
Uslov dodira porediš sa \(r\), a ne sa \(r^2\). Tek u centralnoj jednačini na desnoj strani stoji \(r^2\).
Veza sa prijemnim zadacima
Kako se tema pojavljuje na ispitu i šta moraš da proveriš
Na prijemnom se kružnica najčešće ne pojavljuje kao izolovana tema, već zajedno sa pravom, parametrom ili uslovom konstrukcije. Zato je korisno da već unapred znaš obrazac zadatka koji gledaš.
Tipični zadaci
- Odredi jednačinu kružnice koja dodiruje jednu ili obe ose i prolazi kroz zadatu tačku.
- Nađi tangente na zadatu kružnicu koje su paralelne datoj pravoj ili prolaze kroz zadatu spoljašnju tačku.
- Odredi parametar tako da prava i kružnica budu tangentne.
- Prevedi opšti oblik u centralni i protumači geometrijski položaj.
Brza kontrolna lista
- Ko su nepoznate? Da li tražiš \(a,b,r\), parametar \(\lambda\), ili nagib \(k\)?
- Koji oblik je najzgodniji? Centralni za čitanje centra, implicitni za rastojanje, eksplicitni za diskriminantu.
- Da li postoji apsolutna vrednost? Ako je zaboraviš, odgovor je obično nepotpun.
- Ima li dva rešenja? Tangente, poluprečnici i konstrukcione kružnice često dolaze u paru.
- Ima li geometrijskog smisla? Na kraju proveri da li je \(r>0\) i da li dobijeni položaj odgovara tekstu zadatka.
Dobra ispitna rutina
Izaberi model, napiši uslove, reši sistem, pa tek onda sređuj zapis. Ko krene obrnuto, obično se izgubi u algebri pre nego što razume šta zapravo računa.
Vežbe na kraju
Proveri da li umeš samostalno
Pokušaj svaku vežbu da rešiš bez gledanja rešenja. Ako zapneš, vrati se i proveri da li si pravilno izabrao nepoznate i preveo uslove.
Vežba 1: čitanje opšte jednačine
Odredi centar i poluprečnik kružnice \(x^2+y^2+8x-6y-11=0\).
Rešenje
Grupiši članove i kompletiraj kvadrate:
\[x^2+8x+y^2-6y=11\]
\[(x+4)^2+(y-3)^2=11+16+9=36\]
Zato je centar \(C(-4,3)\), a poluprečnik \(r=6\).
Vežba 2: položaj prave i kružnice
Ispitaj da li je prava \(3x-4y-6=0\) tangenta, sečica ili spoljašnja prava kružnice \((x-1)^2+(y+2)^2=16\).
Rešenje
Centar je \(C(1,-2)\), poluprečnik \(r=4\). Računaj rastojanje:
\[d(C,p)=\frac{|3\cdot 1-4\cdot(-2)-6|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{|3+8-6|}{5}=1\]
Pošto je \(1<4\), prava je sečica.
Vežba 3: tangente paralelne pravoj
Nađi tangente kružnice \((x+1)^2+(y-3)^2=25\) paralelne pravoj \(x+2y-5=0\).
Rešenje
Tražene prave imaju oblik \(x+2y+\lambda=0\). Centar kružnice je \(C(-1,3)\), a \(r=5\).
\[\frac{|-1+2\cdot 3+\lambda|}{\sqrt{1^2+2^2}}=5 \Rightarrow \frac{|5+\lambda|}{\sqrt{5}}=5\]
\[|5+\lambda|=5\sqrt{5} \Rightarrow \lambda=-5\pm 5\sqrt{5}\]
Zato su tangente:
\[x+2y-5+5\sqrt{5}=0 \qquad \text{i} \qquad x+2y-5-5\sqrt{5}=0\]
Vežba 4: kružnica sa centrom na x-osi
Nađi jednačine kružnica čiji je centar na \(x\)-osi, koje dodiruju pravu \(y=4\) i prolaze kroz tačku \(P(1,1)\).
Rešenje
Neka je centar \(C(a,0)\). Dodir sa pravom \(y=4\) znači da je poluprečnik \(r=4\). Pošto kružnica prolazi kroz \(P(1,1)\), važi:
\[(1-a)^2+(1-0)^2=4^2\]
\[(1-a)^2+1=16 \Rightarrow (1-a)^2=15\]
\[a=1\pm \sqrt{15}\]
Dobijaš dve kružnice:
\[(x-(1+\sqrt{15}))^2+y^2=16\]
\[(x-(1-\sqrt{15}))^2+y^2=16\]
Vežba 5: tangente kroz spoljašnju tačku
Nađi tangente na kružnicu \(x^2+y^2=9\) koje prolaze kroz tačku \(A(0,5)\).
Rešenje
Prava kroz \(A(0,5)\) ima oblik \(y=kx+5\). Uvrsti u jednačinu kružnice:
\[x^2+(kx+5)^2=9 \Rightarrow (1+k^2)x^2+10kx+16=0\]
Za tangentu mora biti \(\Delta=0\):
\[(10k)^2-4(1+k^2)\cdot 16=0\]
\[100k^2-64-64k^2=0 \Rightarrow 36k^2=64 \Rightarrow k^2=\frac{16}{9}\]
\[k=\pm \frac{4}{3}\]
Tangente su:
\[y=\frac{4}{3}x+5 \qquad \text{i} \qquad y=-\frac{4}{3}x+5\]
Završni uvid
Najvažnija poruka lekcije
Kružnica nije skup odvojenih formula. Ona je jedan model sa tri ključne ideje.
Tri stuba lekcije
- Centralni oblik govori gde je centar i koliki je poluprečnik.
- Svaki geometrijski uslov daje jednu jednačinu za \(a\), \(b\) i \(r\).
- Tangenta nastaje kada je rastojanje centra od prave jednako poluprečniku.
\[\text{dodir} \Longleftrightarrow d(C,p)=r\]
Ako ovu jednu relaciju stvarno razumeš, pola zadataka iz dodira prave i kružnice prestaje da izgleda “specijalno”.
Završni rezime
Šta moraš da zapamtiš pre nego što pređeš dalje
Ovu lekciju ne završavaš pamćenjem mnogo formula, nego sigurnošću u nekoliko temeljnih koraka.
1. Čitaj centralni oblik
Iz \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) odmah čitaš centar \(C(a,b)\) i poluprečnik \(r\).
2. Sredi opšti oblik
Opšta jednačina dobija smisao tek posle kompletiranja kvadrata. Bez toga ne vidiš geometriju.
3. Dodir je rastojanje
Za pravu \(Ax+By+C=0\) tangenta nastaje kada je \(\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=r\).
4. Svaki uslov je jednačina
Dodir sa osom, prolazak kroz tačku i položaj centra zajedno grade sistem koji određuje kružnicu.