Kako se ugao prevodi u dužinu i površinu — iz jednog ugla dobijaš luk, tetivu i deo površine.
Matoteka · Centar znanja · Lekcija 45
Krug i delovi kruga
Ova lekcija spaja dve stvari koje učenici često uče odvojeno, a na prijemnom se pojavljuju zajedno: računanje obima, površine, luka i kružnog isečka, kao i prepoznavanje osobina tetivnih i tangentnih četvorouglova. Kada razumeš da je centralni ugao glavna „komanda“ koja upravlja lukom, tetivom i isečkom, formule prestaju da budu nešto za bubanje i postaju logične.
Mešanje stepeni i radijana — formula l=rφ važi tek kada je ugao izražen u radijanima.
Brzo prepoznavanje obrasca — luk, sektor ili osobine četvorougla vezanog za krug.
55 do 75 minuta
Uglovi, trouglovi, Pitagorina teorema i osnovno računanje sa π
Prevođenje geometrije u formule i izbor najkraće relacije
Laboratorija za luk i tetivni četvorougao
Brza navigacija
Kretanje kroz lekciju
Najstabilniji redosled je: zašto ova tema postoji, kako se nalazi modul i argument, kako se prelazi između oblika, pa tek onda Moivreova formula i koreni.
Zašto je ova lekcija važna
Krug je mesto gde se geometrija „sabija“ u nekoliko moćnih ideja
Na prijemnom zadatak retko glasi samo: „izračunaj obim kruga“. Mnogo češće su obim, luk, tangenta, tetiva ili četvorougao deo šire priče. Učenik koji razume odnose unutar kruga vidi prečicu: iz centralnog ugla prelazi na luk, iz luka na sektor, iz upisanosti na relaciju uglova, a iz tangentnosti na relaciju stranica.
Za računanje
Obim i površina kruga su osnova za sve zadatke sa isečcima, odsečcima, valjkom, kupom i kružnim putanjama.
Za razumevanje radijana
Radijan nije “nova oznaka za ugao”, već prirodan način da ugao direktno povežeš sa dužinom luka.
Za planimetrijske trikove
Tetivni i tangentni četvorouglovi često daju jedan skriven uslov koji zadatak odjednom čini rešivim.
Pedagoški savet
Nemoj učiti ovu lekciju kao spisak formula. Najpre nacrtaj krug i obeleži šta znaš: poluprečnik, centralni ugao, luk, tetivu, tangentu. Tek kada vidiš figuru, odluči koja formula ima smisla. Time smanjuješ broj grešaka i ubrzavaš rad na ispitu.
Osnovni pojmovi
Šta su krug, kružnica i osnovni delovi kruga
U školskom govoru često se kaže „krug“ za sve, ali formalno razlikujemo krug i kružnicu. Ta razlika ume da bude važna kada zadatak govori o površini, dodiru ili položaju tačaka.
Kružnica
\[OA = OB = r\]
Skup svih tačaka ravni koje su na istoj udaljenosti \(r\) od jedne fiksne tačke \(O\), centra.
Krug
\[K = \{T \mid OT \le r\}\]
Deo ravni omeđen kružnicom, zajedno sa svim unutrašnjim tačkama. Zato krug ima površinu, a kružnica samo dužinu.
Poluprečnik i prečnik
\[d = 2r\]
Poluprečnik spaja centar sa tačkom kružnice. Prečnik prolazi kroz centar i najveća je moguća tetiva.
Tetiva i luk
\[\overline{AB}\text{ je tetiva},\quad \widehat{AB}\text{ je luk}\]
Tetiva spaja dve tačke kružnice pravom duži. Luk je deo kružnice između istih tih tačaka.
Tangenta
\[t \perp OA \quad \text{u tački dodira } A\]
Prava koja dodiruje kružnicu u jednoj tački. U toj tački tangenta je normalna na poluprečnik.
Kružni isečak i kružni odsečak
\[\text{isečak} = \text{dva poluprečnika} + \text{luk}\]
Isečak je deo ograničen dvama poluprečnicima i lukom. Odsečak je deo ograničen tetivom i lukom.
Intuicija koju treba da zadržiš
Kada dve tačke \(A\) i \(B\) leže na kružnici, dobijaš tri povezana objekta: centralni ugao \(\angle AOB\), luk \(\widehat{AB}\) i tetivu \(AB\). Ako se centralni ugao povećava, i luk i tetiva postaju veći. Dakle, ceo problem često zavisi od toga koliko “kruga” taj ugao zahvata.
Formalna notacija
U ovoj lekciji ćemo najčešće koristiti oznake \(r\) za poluprečnik, \(d\) za prečnik, \(\varphi\) za centralni ugao u radijanima, \(l\) za dužinu luka i \(P\) za površinu. Važno je da iz same oznake znaš koja veličina je linearna, a koja površinska.
Koja je najduža tetiva u krugu?
Najduža tetiva je prečnik. Razlog je intuitivan: ona prolazi kroz centar, pa zahvata “najširu” moguću duž u krugu. Svaka druga tetiva je kraća od prečnika.
\[AB \le d = 2r\]
Kako znaš da prava nije tangenta?
Ako prava seče kružnicu u dve tačke, onda nije tangenta nego sekanta. Tangenta ima tačno jednu zajedničku tačku sa kružnicom. Zato je u zadatku važno pažljivo čitati da li je reč o dodiru ili preseku.
Mikro-provera 1: šta ima obim, a šta površinu?
Kružnica ima dužinu, odnosno obim. Krug ima površinu. Ako zadatak traži “površinu kružnice”, to je terminološki pogrešno i treba misliti na površinu kruga.
Mikro-provera 2: zašto je tangenta normalna na poluprečnik?
Tačka dodira je najbliža tačka prave centru. Kada poluprečnik ne bi bio normalan na tangentu, postojala bi tačka tangente bliža centru od tačke dodira, što je nemoguće. Zato važi pravilo: poluprečnik do tačke dodira i tangenta grade ugao od \(90^\circ\).
Radijansko merenje i osnovne formule
Radijan je ključ koji povezuje ugao sa lukom
U stepenima govoriš koliki deo punog kruga zauzima ugao. U radijanima govoriš koliko je odgovarajući luk „dugačak u jedinicama poluprečnika“. Zbog toga su formule za luk i kružni isečak u radijanima kraće i prirodnije.
Kako nastaje radijan
Ugao od \(1\) radijana je centralni ugao koji zahvata luk čija je dužina jednaka poluprečniku. Pošto ceo obim kruga iznosi \(2\pi r\), puni ugao odgovara meri \(2\pi\) radijana.
\[360^\circ = 2\pi\text{ rad},\qquad 180^\circ = \pi\text{ rad}\]
Najvažnije upozorenje u ovoj lekciji
Formula \(l = r\varphi\) i formula \(P_{\text{isečka}} = \frac{r^2\varphi}{2}\) važe kada je ugao \(\varphi\) u radijanima. Ako je ugao dat u stepenima, prvo ga pretvori u radijane ili koristi formulu sa razlomkom \(\frac{\alpha}{360^\circ}\).
Obim kruga
\[O = 2\pi r\]
Ceo krug dužine je proporcionalan poluprečniku.
Površina kruga
\[P = \pi r^2\]
Površina raste sa kvadratom poluprečnika, pa duplo veći poluprečnik daje četiri puta veću površinu.
Dužina luka u radijanima
\[l = r\varphi\]
Najkraća i najprirodnija formula kada je centralni ugao zadat u radijanima.
Dužina luka u stepenima
\[l = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r\]
Kada je ugao dat u stepenima, uzimaš odgovarajući deo punog obima.
Površina kružnog isečka
\[P_{\text{isečka}} = \frac{r^2\varphi}{2} = \frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2\]
Isečak zauzima isti deo površine koji njegov ugao zauzima od punog ugla.
Dužina tetive
\[AB = 2r\sin\frac{\varphi}{2}\]
Korisna formula kada su dati poluprečnik i centralni ugao, a traži se duž između dve tačke na kružnici.
Zašto važi l=r\u03C6
Puni krug ima ugao \(2\pi\) i obim \(2\pi r\). Ako neki ugao zauzima samo deo tog punog ugla, odgovarajući luk zauzima isti deo obima:
\[\frac{l}{2\pi r}=\frac{\varphi}{2\pi}\quad \Rightarrow \quad l=r\varphi.\]
Poluprečnik 6 cm, ugao 60\u00B0
Prvo pretvori ugao u radijane:
\[60^\circ = \frac{\pi}{3}.\]
Zatim:
\[l = r\varphi = 6 \cdot \frac{\pi}{3} = 2\pi \text{ cm}.\]
Površina odgovarajućeg isečka je
\[P_{\text{isečka}}=\frac{6^2\cdot \pi/3}{2}=6\pi \text{ cm}^2.\]
Iz luka do poluprečnika
Ako je dužina luka \(4\pi\) cm, a centralni ugao \(\frac{2\pi}{3}\), tada iz formule \(l = r\varphi\) dobijaš:
\[4\pi = r\cdot \frac{2\pi}{3}.\]
Množenjem sa \(\frac{3}{2\pi}\) sledi \(r = 6\) cm. Ovo je čest prijemni obrazac: jedna formula, ali moraš pravilno prepoznati koja je nepoznata veličina.
Mikro-provera 3: koliko radijana ima ugao od 45\u00B0?
Pošto \(180^\circ = \pi\), deljenjem sa \(4\) dobijamo:
\[45^\circ = \frac{\pi}{4}.\]
Mikro-provera 4: šta se dešava sa površinom kada poluprečnik postane duplo veći?
Površina se množi sa \(2^2 = 4\). Dakle, duplo veći poluprečnik daje četiri puta veću površinu kruga.
Tetivni i tangentni četvorouglovi
Dva posebna četvorougla koja stalno izlaze na prijemnom
U ovoj lekciji naziv „tetivni četvorougao“ koristimo za četvorougao čija sva temena leže na jednoj kružnici. „Tangentni četvorougao“ je četvorougao oko kog može da se upiše kružnica, odnosno njegova svaka stranica dodiruje tu kružnicu. Ova dva tipa ne treba mešati: jedan je vezan za temena na kružnici, a drugi za stranice koje dodiruju kružnicu.
Tetivni četvorougao
Četvorougao \(ABCD\) je tetivni ako sva četiri temena leže na istoj kružnici. Njegova najvažnija osobina za zadatke je:
\[\angle A + \angle C = 180^\circ, \qquad \angle B + \angle D = 180^\circ\]
Kada u zadatku vidiš da je četvorougao upisan u kružnicu, odmah proveravaj naspramne uglove.
Tangentni četvorougao
Četvorougao je tangentni ako se u njega može upisati kružnica koja dodiruje sve četiri stranice. Najvažnija relacija je zbir naspramnih stranica:
\[a + c = b + d\]
Ova formula je često dovoljna da iz jedne nepoznate odrediš drugu bez ikakvog komplikovanog crtanja.
Upisan u kružnicu
\[\text{temena } \in \text{ kružnica}\]
Ako tekst kaže da su sva temena na kružnici ili da je četvorougao upisan u kružnicu, razmišljaj o tetivnom četvorouglu.
Naspramni uglovi su suplementni
\[\angle C = 180^\circ - \angle A\]
Ovo znači da im je zbir 180\u00B0. Jedan ugao često dobijaš odmah oduzimanjem od 180\u00B0.
Oko četvorougla je upisana kružnica
\[\text{stranice tangentne na kružnicu}\]
Ako svaka stranica dodiruje istu kružnicu, radi se o tangentnom četvorouglu.
Zbir naspramnih stranica
\[a + c = b + d\]
Najčešće služi za određivanje nepoznate stranice ili proveru da li je četvorougao uopšte tangentni.
Iz iste spoljašnje tačke tangente su jednake
\[TA = TB\]
Ova ideja objašnjava zašto se u tangentnom četvorouglu javlja relacija između zbirova naspramnih stranica.
Traži skrivenu relaciju
\[\text{upisanost} \Rightarrow \text{uslov}\]
Kad zadatak izgleda „bez dovoljno podataka“, proveri da li upravo upisanost ili tangentnost dodaje jedan skriven uslov.
Nepoznati ugao u tetivnom četvorouglu
Ako je u tetivnom četvorouglu \(\angle A = 68^\circ\), tada je
\[\angle C = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ.\]
Ovo je tip zadatka koji treba rešavati za nekoliko sekundi.
Nepoznata stranica u tangentnom četvorouglu
Neka su stranice \(a=7\), \(b=9\), \(c=11\) i \(d=x\). Pošto važi \(a+c=b+d\), dobijamo:
\[7+11=9+x \Rightarrow x=9.\]
Zašto se tetivni i tangentni četvorougao lako pomešaju?
Zato što oba imaju veze sa kružnicom, ali na različit način. Kod tetivnog su temena na kružnici. Kod tangentnog su stranice tangentne na kružnicu. Na skici to izgleda slično samo ako se crtež posmatra površno. Zato na ispitu obavezno pročitaj da li je kružnica opisana oko četvorougla ili upisana u četvorougao.
Mikro-provera 5: kada četvorougao ne može biti tetivni?
Ako zbir jednog para naspramnih uglova nije \(180^\circ\), četvorougao ne može biti tetivni. Na primer, uglovi \(95^\circ\) i \(70^\circ\) ne mogu biti naspramni uglovi tetivnog četvorougla jer im je zbir \(165^\circ\).
Interaktivni laboratorijum
Menjaj ugao i temena i gledaj kako se menjaju relacije
Laboratorija ima dva režima. U prvom posmatraš kako centralni ugao upravlja lukom, tetivom i površinom kružnog isečka. U drugom režimu pomeraš temena tetivnog četvorougla i vidiš da zbir naspramnih uglova ostaje 180\u00B0, bez obzira na oblik četvorougla.
Podešavanje prikaza
Koristi kontrole kao da proveravaš sopstvenu intuiciju: najpre pogodi rezultat, pa tek onda proveri na slici i u karticama ispod.
6 cm
60° = π/3 rad
Kako da koristiš ovu laboratoriju
U režimu “Luk i isečak” prvo proceni da li će se luk ili površina menjati brže kada pomeraš ugao. U režimu “Tetivni četvorougao” prati da se sam oblik menja, ali da zbir naspramnih uglova ostaje isti.
Prikaz luka, tetive, tangente i kružnog isečka
Na slici su istovremeno označeni centralni ugao, luk, tetiva i tangenta u jednoj tački kružnice.
Ugao
60° = 1,047 rad
Za formule \(l = r\varphi\) i \(P = \tfrac{r^2\varphi}{2}\) potreban je radijanski zapis.
Luk
6,283 cm
Računa se formulom \(l = r \cdot \varphi\).
Tetiva
6 cm
Tetiva je kraća od odgovarajućeg luka i zavisi od polovine centralnog ugla.
Površina isečka
18,85cm²
Isečak zauzima isti deo površine koji ugao zauzima od celog kruga.
Ako isti ugao povećaš, i luk i tetiva rastu, ali se površina isečka menja još brže jer zavisi i od poluprečnika i od ugla.
Vođeni primeri
Primeri koji grade osećaj za tipične prijemne zadatke
Primeri su poređani tako da prvo uvežbaš čiste formule, zatim njihov smisao, a na kraju i relacije u četvorouglovima vezanim za krug.
Primer 1: Dužina luka kada je ugao već u radijanima
Dat je krug poluprečnika \(r = 9\) cm i centralni ugao \(\varphi = \frac{2\pi}{5}\). Odredi dužinu luka.
1
Ugao je već u radijanima, formula je odmah spremna.
2
Uvrsti u \(l = r\varphi\):
\[l = 9 \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{18\pi}{5}\text{ cm}.\]
Poenta: nema potrebe za prebacivanjem u stepene ako su radijani već dati.
Primer 2: Površina isečka kada je ugao dat u stepenima
U krugu poluprečnika \(8\) cm centralni ugao iznosi \(135^\circ\). Nađi površinu kružnog isečka.
1
Koristi formulu sa stepenima:
\[P_{\text{isečka}} = \frac{135^\circ}{360^\circ}\cdot \pi \cdot 8^2.\]
2
Sredi razlomak \(\frac{135}{360} = \frac{3}{8}\).
\[P_{\text{isečka}} = \frac{3}{8}\cdot 64\pi = 24\pi \text{ cm}^2.\]
Primer 3: Tetivni četvorougao i nepoznati ugao
U četvorouglu upisanom u kružnicu dato je \(\angle B = 74^\circ\). Odredi \(\angle D\).
1
Ključna reč je „upisanom u kružnicu“, dakle četvorougao je tetivni.
2
Naspramni uglovi imaju zbir \(180^\circ\).
\[\angle D = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ.\]
Poenta: ovde nema nikakvog dodatnog računa, samo brzo prepoznavanje obrasca.
Primer 4: Tangentni četvorougao i nepoznata stranica
Neka su stranice tangentnog četvorougla \(a = x+1\), \(b = 8\), \(c = 12\), \(d = 9\). Nađi \(x\).
1
Za tangentni četvorougao važi \(a+c=b+d\).
\[(x+1)+12 = 8+9.\]
2
Sredi jednačinu:
\[x+13 = 17 \Rightarrow x = 4.\]
Primer 5: Kombinovani prijemni tip — od ugla do luka i tetive
U krugu poluprečnika \(10\) cm centralni ugao iznosi \(120^\circ\). Odredi dužinu luka i dužinu odgovarajuće tetive.
1
Prvo pretvori ugao u radijane:
\[120^\circ = \frac{2\pi}{3}.\]
2
Dužina luka:
\[l = r\varphi = 10\cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{20\pi}{3}\text{ cm}.\]
3
Dužina tetive koristi polovinu ugla:
\[AB = 2r\sin\frac{\varphi}{2} = 20\sin\frac{\pi}{3} = 20\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\text{ cm}.\]
Ovaj primer je dobar jer pokazuje da isti ugao upravlja i lukom i tetivom, ali preko različitih formula.
Mikro-provera 6: koju formulu bi prvo izabrao?
Ako su dati \(r\) i \(\varphi\) u radijanima, prva reakcija treba da bude \(l = r\varphi\). Ako su dati naspramni uglovi u upisanom četvorouglu, prva reakcija treba da bude zbir \(180^\circ\). Uvek kreni od najkraće relacije.
Ključne formule i obrasci
Formule koje treba da prepoznaš na prvi pogled
Ove relacije nisu za puko memorisanje. Potrebno je da znaš i kada svaka od njih ima smisla.
Obim kruga
\[O = 2\pi r\]
Koristi se kada tražiš dužinu cele kružnice ili kada računaš deo obima preko ugla.
Površina kruga
\[P = \pi r^2\]
Osnova za sve zadatke sa kružnim isečkom, odsečkom i obrtanjem ravnih figura.
Dužina luka
\[l = r\varphi\]
Važi kada je \(\varphi\) izražen u radijanima.
Površina kružnog isečka
\[P_{\text{isečka}} = \frac{r^2\varphi}{2}\]
Najlepša formula lekcije, ali opet samo za ugao u radijanima.
Tetivni četvorougao
\[\angle A + \angle C = 180^\circ\]
Naspramni uglovi su suplementni.
Tangentni četvorougao
\[a + c = b + d\]
Zbir jednih naspramnih stranica jednak je zbiru drugih.
Česte greške
Greške koje se ne prave zbog neznanja, nego zbog žurbe
Većina grešaka u ovoj oblasti nastaje zato što učenik prebrzo posegne za formulom, a da nije proverio jedinicu mere ili vrstu četvorougla.
Stepeni ubačeni u radijansku formulu
Ako u \(l = r\varphi\) direktno ubaciš \(60\) umesto \(\frac{\pi}{3}\), dobiješ potpuno pogrešan rezultat. Prvo proveri jedinicu ugla.
Mešanje kruga i kružnice
Obim pripada kružnici, a površina krugu. To deluje sitno, ali često vodi i do pogrešne formule.
Mešanje tetivnog i tangentnog četvorougla
“Upisan u kružnicu” i “oko njega je upisana kružnica” nisu ista stvar. Jedno govori o temenima, drugo o stranicama.
Zaboravljena polovina ugla kod tetive
U formuli za tetivu stoji \(\sin\frac{\varphi}{2}\), ne \(\sin\varphi\). To je česta greška kada se formula koristi bez razumevanja.
Automatsko korišćenje decimalnog \(\pi\)
Na prijemnom često je bolje ostaviti rezultat u obliku sa \(\pi\), npr. \(6\pi\), osim ako zadatak izričito traži približnu vrednost.
Nepotpuna provera odgovora
Ako dobiješ luk duži od celog obima ili ugao veći od \(180^\circ\) tamo gde geometrijski nema smisla, zastani i proveri račun.
Veza sa prijemnim zadacima
Kako se tema pojavljuje na prijemnom i gde su tipične zamke
Zadatak je često postavljen tako da izgleda duže nego što jeste. Tvoja prednost je da odmah prepoznaš ključnu relaciju i preskočiš nepotrebne korake.
Tip 1: računanje luka ili isečka
Proveri da li je ugao u stepenima ili radijanima. Tek posle toga biraš formulu.
Tip 2: skriveni radijani
Ako je dat odnos luka i poluprečnika, zadatak te često navodi da sam otkriješ meru ugla u radijanima.
Tip 3: četvorougao upisan u kružnicu
Traži se nepoznati ugao, a jedini pravi potez je zbir naspramnih uglova jednak \(180^\circ\).
Tip 4: tangentni četvorougao
Jedna nepoznata stranica ili parametar rešava se relacijom \(a+c=b+d\), bez dodatnog crtanja.
Tip 5: kombinovanje sa trouglovima
Često se krug kombinuje sa pravouglim ili jednakokrakim trouglom, pa ti uz formulu za luk treba i Pitagora ili trigonometrija.
Tip 6: proveri razumnost
Ako dobiješ da je deo kruga veći od celog kruga ili da zbir naspramnih uglova nije \(180^\circ\), nešto si pomešao u postavci.
Brza prijemna kontrolna lista
1. Šta je dato: poluprečnik, ugao, luk, tangenta ili tip četvorougla? 2. U kojim jedinicama je ugao? 3. Da li postoji jedna kratka relacija koja zatvara zadatak? Ako na ova tri pitanja odgovoriš odmah, već si ispred većine tipičnih grešaka.
Vežbe na kraju lekcije
Proveri da li zaista vidiš obrasce, a ne samo formule
Pokušaj prvo samostalno, bez gledanja rešenja. Ako zapneš, vrati se na odgovarajuću sekciju i proveri koji signal iz zadatka si propustio.
Zadatak 1
U krugu je \(r = 5\) cm i \(\varphi = \frac{3\pi}{5}\). Odredi dužinu odgovarajućeg luka.
Rešenje
Koristi \(l = r\varphi\):
\[l = 5 \cdot \frac{3\pi}{5} = 3\pi \text{ cm}.\]
Zadatak 2
Poluprečnik kruga je \(12\) cm, a centralni ugao \(150^\circ\). Odredi površinu kružnog isečka.
Rešenje
\[P_{\text{isečka}} = \frac{150^\circ}{360^\circ}\cdot \pi \cdot 12^2 = \frac{5}{12}\cdot 144\pi = 60\pi \text{ cm}^2.\]
Zadatak 3
U tetivnom četvorouglu jedan ugao iznosi \(97^\circ\). Koliki je naspramni ugao?
Rešenje
Naspramni uglovi u tetivnom četvorouglu daju \(180^\circ\), pa je
\[180^\circ - 97^\circ = 83^\circ.\]
Zadatak 4
U tangentnom četvorouglu važe \(a = 6\), \(b = 10\), \(c = 9\). Nađi četvrtu stranicu \(d\).
Rešenje
Iz \(a+c=b+d\) sledi
\[6+9=10+d \Rightarrow d=5.\]
Zadatak 5
Izračunaj meru ugla u radijanima ako je ugao \(225^\circ\).
Rešenje
\[225^\circ = \frac{225}{180}\pi = \frac{5\pi}{4}.\]
Zadatak 6
Luk u krugu poluprečnika \(4\) cm ima dužinu \(2\pi\) cm. Odredi centralni ugao u radijanima.
Rešenje
Iz \(l = r\varphi\) dobijamo
\[2\pi = 4\varphi \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{2}.\]
Ključna poruka
Jedan ugao upravlja više različitih veličina
Glavni uvid lekcije
Kada u krugu vidiš centralni ugao, zapravo vidiš više stvari odjednom: deo obima, deo površine, odgovarajuću tetivu i često put ka rešavanju većeg planimetrijskog zadatka. Zato je važno da iz crteža odmah “prevedeš” ugao u ono što zadatak zaista traži.
\[\varphi \quad \Longrightarrow \quad l,\ P_{\text{isečka}},\ AB,\ \text{relacije u zadatku}\]
Završni rezime
Šta moraš da zapamtiš posle ove lekcije
1. Kružnica i krug
Razlikuj kružnicu od kruga: kružnica ima obim, krug ima površinu.
2. Osnovne formule
Za krug važe \(O = 2\pi r\) i \(P = \pi r^2\).
3. Luk i isečak
Najprirodnije formule su \(l = r\varphi\) i \(P_{\text{isečka}} = \frac{r^2\varphi}{2}\), ali samo kada je ugao u radijanima.
4. Tetivni četvorougao
Naspramni uglovi daju \(180^\circ\).
5. Tangentni četvorougao
Zbir jednih naspramnih stranica jednak je zbiru drugih: \(a+c=b+d\).
6. Sledeći korak
Prenesi ove ideje na stereometriju, posebno na valjak, kupu i zadatke gde se ravni preseci svode na planimetriju kruga.