Kako da razdvojiš zadatak na prave slučajeve: automatski tačan, automatski nemoguć i slučaj u kome je kvadriranje dozvoljeno.
Matoteka · Centar znanja · Lekcija 25
Iracionalne nejednačine
Ova lekcija je jedna od poslednjih ozbiljnih provera algebarske zrelosti pred prijemni. Ključ nije u tome da umeš da kvadriraš, nego da znaš kada smeš. Čim vidiš √A(x) □ B(x), prvi posao nije računanje nego logičko grananje po znaku desne strane.
Kvadriranje cele nejednačine bez provere znaka. Time se briše logička razlika između grana i nastaje pogrešan skup rešenja.
Za više od polovine zadataka dovoljan je pravi prvi minut. Domena i znak desne strane često rešavaju pola posla pre nego što krene algebra.
75 do 90 minuta. Ovo je lekcija koju vredi učiti sporije, jer jedan dobar mentalni model štedi mnogo poena na ispitu.
Iracionalne jednačine i kvadratne nejednačine. Treba da umeš domenu korena, kvadriranje uz uslov i rešavanje kvadratnih nejednačina.
Logičko grananje. Da tačno prepoznaš kad negativna desna strana pomaže, a kad odmah isključuje rešenja.
Canvas laboratorija grana. Menjaš parametre i odmah vidiš domenu, obe grane i skup rešenja na brojevnoj pravoj.
Brza navigacija
Kretanje kroz lekciju
Najstabilniji redosled je: zašto ova tema postoji, kako se nalazi modul i argument, kako se prelazi između oblika, pa tek onda Moivreova formula i koreni.
Zašto je ova lekcija važna
Ovde se proverava da li razmišljaš ili samo manipulišeš simbolima
Iracionalne nejednačine deluju kratko, ali su suštinski logički zadaci. Ispitivač ne proverava samo da li umeš da kvadriraš, već da li razumeš da je √A(x) uvek nenegativno i da zbog toga znak izraza B(x) menja čitav tok rešenja.
Učiš da algebra ima logičke uslove
Isti refleks ti kasnije treba kod logaritama, domena funkcija, parametarskih zadataka i analize grafika. Ko ovde stekne disciplinu, pravi manje grešaka u svakoj sledećoj oblasti.
Najčešća kazna je za preskočen prvi korak
Kandidat često odmah kvadrira, dobije urednu kvadratnu nejednačinu i potpuno pogrešan odgovor. Zato je ova tema odličan filter: odvoji pažljivog učenika od onog koji radi mehanički.
Negativna desna strana nekad pomaže, a nekad sve ruši
Upravo ta promena logike razlikuje iracionalne nejednačine od većine rutinskih zadataka. Kada to jednom vidiš jasno, cela oblast postaje mnogo preglednija.
Studentska poruka koju vredi zapamtiti
Ako ti zadatak deluje haotično, vrati se na jedno pitanje: kakav je znak desne strane? U većini iracionalnih nejednačina upravo to pitanje rešava najteži deo problema.
Osnovni model
Šta zapravo znači nejednačina sa korenom
U ovoj lekciji najčešće posmatramo kvadratni koren, jer je on dominantan na prijemnim ispitima. Za opšti oblik √A(x) □ B(x) prvo moraš da poštuješ dve činjenice: radikand mora biti nenegativan, a cela leva strana je tada takođe nenegativna.
Iracionalna nejednačina
To je nejednačina u kojoj se nepoznata javlja pod korenom, na primer \(\sqrt{x+1}\ge x-1\), \(\sqrt{x+4}<x+2\) ili \(\sqrt{2x+3}\le 5-x\).
\[A(x)\ge 0 \quad \text{je prvi obavezni uslov.}\]
Leva strana nikada nije negativna
Kada je koren definisan, važi \(\sqrt{A(x)}\ge 0\). Zato je znak izraza \(B(x)\) presudan: ako je \(B(x)<0\), poređenje sa nenegativnim brojem ne izgleda isto kao kada je \(B(x)\ge 0\).
\[\sqrt{A(x)}\ge 0\]
Jedna rečenica koja spašava poene
Za znakove \(>\) i \(\ge\) negativna desna strana obično pomaže. Za znakove \(<\) i \(\le\) negativna desna strana obično ubija rešenja.
\[\sqrt{A(x)}\ \text{je nenegativno} \Rightarrow \text{prvo gledaj } B(x).\]
Mikro-provera: šta odmah znaš ako je desna strana jednaka −3?
Ako rešavaš \(\sqrt{A(x)}\ge -3\) ili \(\sqrt{A(x)}>-3\), tada je nejednačina tačna za sve \(x\) iz domene, jer je leva strana nenegativna. Ako rešavaš \(\sqrt{A(x)}\le -3\) ili \(\sqrt{A(x)}<-3\), tada nema rešenja, jer nenegativan broj ne može biti manji ili jednak negativnom broju.
Algoritam
Redosled koraka koji treba da automatizuješ
Najsigurniji način rešavanja iracionalnih nejednačina jeste da uvek radiš istim redom. Tako izbegavaš najveću opasnost ove oblasti: da kvadriraš pre nego što znaš da li je to logički dozvoljeno.
1
Napiši domenu
Za kvadratni koren prvo mora važiti \(A(x)\ge 0\). Ovo nije ukrasni uslov. Bez njega levi član uopšte nije definisan.
2
Razdvoji slučajeve po znaku desne strane
Ispitaj posebno gde je \(B(x)\) negativan, nenegativan, odnosno pozitivan kada je potrebna stroga nejednakost. Tu se krije glavni logički prekid.
3
Tek u odgovarajućoj grani kvadriraj
Kvadriranje je dozvoljeno samo kada znaš da obe strane imaju pravi znak za poređenje. Tada nejednačinu svodiš na oblik bez korena.
4
Reši dobijenu algebarsku nejednačinu
Najčešće dobijaš kvadratnu nejednačinu. Reši je, a zatim uradi presek sa uslovima grane u kojoj si radio.
5
Spoji grane u konačan skup rešenja
Jedna grana može biti automatski tačna, druga dati intervale posle kvadriranja. Konačno rešenje je njihova unija, ne rezultat samo jedne od njih.
Formalna pravila za četiri najvažnija oblika
√A(x) > B(x)
\[\sqrt{A(x)} > B(x) \iff \left[\begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x)<0 \end{array}\right] \cup \left[\begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x)>B(x)^2 \end{array}\right]\]
Ako je B(x) < 0, leva strana je automatski veća jer je nenegativna.
√A(x) ≥ B(x)
\[\sqrt{A(x)} \ge B(x) \iff \left[\begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x)<0 \end{array}\right] \cup \left[\begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x)\ge B(x)^2 \end{array}\right]\]
Tačka B(x)=0 pripada drugoj grani, gde proveravaš da li je A(x) ≥ 0.
√A(x) < B(x)
\[\sqrt{A(x)} < B(x) \iff \left[\begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x)>0 \\ A(x)<B(x)^2 \end{array}\right]\]
Za strogo manje mora važiti B(x) > 0, jer broj manji od nule ne može biti iznad korena.
√A(x) ≤ B(x)
\[\sqrt{A(x)} \le B(x) \iff \left[\begin{array}{l} A(x)\ge 0 \\ B(x)\ge 0 \\ A(x)\le B(x)^2 \end{array}\right]\]
Ako je B(x) < 0, nema rešenja. Ako je B(x) = 0, moguće je samo kada je i koren jednak nuli.
Ne kvadriraš celu nejednačinu, nego samo validnu granu
To je najvažniji uvid ove lekcije. Kvadriranje nije prvi korak, nego treći: dolazi tek pošto domena i znak desne strane budu potpuno razjašnjeni.
Prvo logika, zatim algebra
Učenik koji razume logiku grana retko greši. Učenik koji pamti samo algebarski obrazac često izgubi upravo one lake poene koje je mogao sigurno da osvoji.
Mikro-provera: zašto kod √A(x) < B(x) tražimo B(x) > 0, a ne samo B(x) ≥ 0?
Zato što je leva strana nenegativna. Ako bi važilo \(B(x)=0\), onda bi nejednačina bila \(\sqrt{A(x)}<0\), što je nemoguće. Zato je za strogu nejednakost potrebno da desna strana bude strogo pozitivna.
Interaktivni deo
Laboratorija za model √(x+p) □ (x+q)
Ovaj model nije cela teorija, ali je odličan trening za ono što je najvažnije: domen, znak desne strane i kvadratna nejednačina u drugoj grani. Menjaj parametre i prati kako se menja skup rešenja na brojevnoj pravoj.
\(p=1\)
Model koristi \(\sqrt{x+1}\). Veći \(p\) pomera početak domene ulevo.
\(q=-1\)
Desna strana je \(x-1\). Njena nula određuje gde se logika zadatka lomi.
Menjaj znak i posmatraj kako negativna desna strana prelazi iz pomoći u prepreku.
Preseti služe da brzo vidiš različite tipove zadataka i način grananja.
Domena\(x\ge -1\)
Radikand je x+1, pa koren postoji od x=-1 nadesno.
Prva grana\(\begin{cases} x+1\ge 0 \\ x-1<0 \end{cases}\)
Ovde je nejednačina automatski tačna. Ova grana daje [-1, 1).
Druga grana\(\begin{cases} x+1\ge 0 \\ x-1\ge 0 \\ x+1 \ge (x-1)^2 \end{cases}\)
U ovoj grani rešavaš odnos x+1 >= (x-1)^2 uz uslove domene i znaka desne strane. D=9, karakteristične tačke su približno 0 i 3. Ova grana daje [1, 3].
Skup rešenja\([-1,\ 3]\)
Konačno rešenje dobiješ kao uniju prve i druge grane.
Napomena: ova laboratorija rešava tačno model \(\sqrt{x+p}\,\square\,(x+q)\). Za opšti oblik \(\sqrt{A(x)}\,\square\,B(x)\) koristi istu logiku, ali račun u drugoj grani može biti složeniji.
Kako da učiš iz ovog laboratorijuma
Pokušaj da prvo sam pogodiš šta će se desiti sa skupom rešenja kad promeniš znak nejednakosti, pa tek onda proveri ekran. Posebno obrati pažnju na to kako prelazak sa \(\ge\) na \(\le\) potpuno menja ulogu negativne desne strane.
Vođeni primeri
Od prve ideje do sigurnog ispitnog postupka
Svaki primer je napisan tako da prati način razmišljanja koji želiš da razviješ: domena, grane, kvadriranje samo tamo gde sme, pa onda presek i unija. Nemoj preskakati objašnjenja između redova, jer su upravo ona ono što na prijemnom donosi sigurnost.
Primer 1: \(\sqrt{x+1} \ge x-1\)
Ovo je najvažniji početni model: jedna grana je automatski tačna, a druga vodi na kvadratnu nejednačinu.
1
Domena
Mora važiti \(x+1\ge 0\), pa je \(x\ge -1\).
2
Prva grana: \(x-1<0\)
Tada je \(x<1\). Pošto je leva strana nenegativna, nejednačina \(\sqrt{x+1}\ge x-1\) je automatski tačna na celoj domeni te grane.
\[\begin{cases} x\ge -1 \\ x<1 \end{cases} \Rightarrow x\in [-1,1)\]
3
Druga grana: \(x-1\ge 0\)
Tada smeš da kvadriraš, jer upoređuješ dve nenegativne strane:
\[\begin{cases} x\ge -1 \\ x-1\ge 0 \\ x+1\ge (x-1)^2 \end{cases}\]
\[x+1\ge x^2-2x+1 \iff x^2-3x\le 0 \iff x(x-3)\le 0\]
\[x\in [0,3]\]
Ali ova grana još traži \(x\ge 1\), pa dobijaš \(x\in [1,3]\).
4
Unija grana
Konačno rešenje je
\[[-1,1)\cup[1,3]=[-1,3].\]
Obrati pažnju: tačka \(x=1\) nije došla iz prve, nego iz druge grane. Zato granice uvek prati pažljivo.
Primer 2: \(\sqrt{x+4} < x+2\)
Ovaj tip zadatka je odličan za učenje razlike između \(\ge\) i \(<\).
1
Domena i znak desne strane
Iz domene dobijaš \(x\ge -4\). Ali za strogo manje mora važiti i \(x+2>0\), odnosno \(x>-2\).
\[\sqrt{x+4}<x+2 \Rightarrow \begin{cases} x\ge -4 \\ x+2>0 \end{cases}\]
2
Kvadriranje u dozvoljenoj grani
Sada obe strane imaju pravi znak za kvadriranje:
\[x+4<(x+2)^2 \iff x+4<x^2+4x+4 \iff x^2+3x>0\]
\[x(x+3)>0 \Rightarrow x\in (-\infty,-3)\cup(0,\infty)\]
3
Presek sa uslovima grane
Od ranije imaš \(x>-2\), pa interval \((-\infty,-3)\) otpada. Ostaje samo
\[x\in (0,\infty).\]
Ovo je dobar primer zašto sama domena nije dovoljna. Prava prepreka je bio uslov da desna strana mora biti strogo pozitivna.
Primer 3: \(\sqrt{x+5} \le x+1\)
Ovde nema automatski tačne grane. Čim desna strana nije nenegativna, zadatak propada.
1
Uslovi pre kvadriranja
Iz domene sledi \(x\ge -5\), a iz oblika \(\le\) mora važiti i \(x+1\ge 0\), tj. \(x\ge -1\).
2
Kvadriraj i sredi do kvadratne nejednačine
\[x+5\le (x+1)^2 \iff x+5\le x^2+2x+1 \iff x^2+x-4\ge 0\]
Nule su \(x_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}\), pa kako je koeficijent uz \(x^2\) pozitivan, važi
\[x\le \frac{-1-\sqrt{17}}{2} \quad \text{ili} \quad x\ge \frac{-1+\sqrt{17}}{2}.\]
3
Presek sa \(x\ge -1\)
Prvi interval otpada, jer je ceo levo od \(-1\). Ostaje
\[x\in \left[\frac{-1+\sqrt{17}}{2},\infty\right).\]
Ovo je tipičan ispitni obrazac: učenik koji zaboravi uslov \(x+1\ge 0\) često pogrešno zadrži i prvi interval.
Primer 4: \(\sqrt{x+6} > 2x-1\)
Prijemna verzija sa opštijom linearnom desnom stranom. Logika je ista, samo je račun u drugoj grani jači.
1
Domena
Važi \(x+6\ge 0\), pa je domena \(x\ge -6\).
2
Prva grana: \(2x-1<0\)
Dobijaš \(x<\frac{1}{2}\). Pošto je leva strana nenegativna, u ovoj grani je nejednačina automatski tačna.
\[x\in \left[-6,\frac{1}{2}\right).\]
3
Druga grana: \(2x-1\ge 0\)
Sada smeš da kvadriraš:
\[x+6 > (2x-1)^2 \iff x+6 > 4x^2-4x+1 \iff 4x^2-5x-5 < 0.\]
Koreni su \(\frac{5\pm\sqrt{105}}{8}\), pa važi
\[x\in \left(\frac{5-\sqrt{105}}{8},\frac{5+\sqrt{105}}{8}\right).\]
Kako ova grana još traži \(x\ge \frac{1}{2}\), dobijaš
\[x\in \left[\frac{1}{2},\frac{5+\sqrt{105}}{8}\right).\]
4
Konačna unija
\[\left[-6,\frac{1}{2}\right)\cup\left[\frac{1}{2},\frac{5+\sqrt{105}}{8}\right) = \left[-6,\frac{5+\sqrt{105}}{8}\right).\]
Ovakav primer pokazuje da logika grana ostaje ista i kad algebra u drugoj grani postane ozbiljnija.
Mikro-provera: u kom primeru je tačka gde je desna strana nula morala posebno da se prati?
U prvom primeru tačka \(x=1\) je granica između dve grane. Nije pripadala automatski tačnoj grani \(x<1\), ali je pripala drugoj grani jer tada postaje \(\sqrt{2}\ge 0\). Upravo zato granica znaka desne strane nikada ne sme da se preleti bez razmišljanja.
Ključne formule
Šta vredi držati u glavi dok rešavaš zadatak
Ove formule nisu za slepo pamćenje, nego za brzo podsećanje na logiku. Ako ih razumeš, svaki novi zadatak svodiš na isti kostur.
Domena je uvek prva linija rešenja
\[\sqrt{A(x)} \ \text{postoji samo ako}\ A(x)\ge 0.\]
Ako ovo ne napišeš, ostatak rešenja nema čvrst temelj.
Negativna desna strana je saveznik (za > i ≥)
\[B(x)<0 \Rightarrow \sqrt{A(x)}\ge B(x) \ \text{i}\ \sqrt{A(x)}>B(x)\]
Naravno, samo na domeni korena.
Negativna desna strana je prepreka (za < i ≤)
\[B(x)<0 \Rightarrow \sqrt{A(x)}\le B(x) \ \text{nema rešenja}\]
Za strogo manje čak ni B(x) = 0 nije dovoljno.
Kvadriranje je dozvoljeno tek kada to znak opravda
\[\sqrt{A(x)} \,\square\, B(x) \Rightarrow A(x) \,\square\, B(x)^2\]
Ovaj prelaz ne važi samostalno, već samo uz odgovarajući uslov na B(x).
Rešenje je unija grana
\[S = S_1 \cup S_2\]
Jedna grana može biti prazna, ali to moraš videti, ne pretpostaviti.
Pitaj se: da li sam možda zaboravio znak desne strane?
Ako ti dobijeni interval deluje sumnjivo velik ili neobično lep, proveri da li si možda rešio samo kvadratnu nejednačinu posle kvadriranja, a zaboravio uslove grane.
Česte greške
Ovde se najčešće gube poeni
Ne pokušavaj da ove greške "ne praviš". Bolje je da ih jasno vidiš i da unapred znaš kako ih sprečavaš dok radiš zadatak.
Odmah kvadriranje bez grananja
Ovo je najopasnija i najčešća greška. Time mešaš automatski tačne i nemoguće slučajeve sa granom u kojoj smeš da kvadriraš.
Zaboravljen znak \(B(x)=0\)
Kod strogih i nestrogih nejednakosti granica nije ista. Posebno pazi na razliku između \(B(x)>0\) i \(B(x)\ge 0\).
Ne radi se presek sa uslovima grane
Posle kvadratne nejednačine dobiješ intervale, ali oni još nisu konačni. Moraš da ih presečeš sa domenom i uslovom znaka desne strane.
Brka se unija i presek
Unutar jedne grane radiš presek uslova. Na kraju različite grane spajaš unijom. Mešanje ova dva koraka potpuno menja rezultat.
Misli se da je domena dovoljna
Domena govori samo gde koren postoji. Za poređenje sa desnom stranom često je važniji uslov da ta desna strana bude pozitivna ili nenegativna.
Ne proverava se smisao rezultata
Ako dobiješ rešenje na delu prave gde je desna strana negativna, a rešavao si oblik \(\sqrt{A(x)}<B(x)\), odmah zastani. Tu je gotovo sigurno nastala logička greška.
Veza sa prijemnim zadacima
Kako da ovu temu rešavaš brzo i sigurno na ispitu
Na prijemnom ne dobijaš poene za dužinu rešenja, nego za tačnost. Zato je cilj da razviješ kratku, stabilnu rutinu koja sprečava tipične padove koncentracije.
Pet pitanja pre računanja
1. Koja je domena korena?
2. Gde je desna strana negativna, nenegativna ili pozitivna?
3. Da li imam automatski tačnu ili automatski nemoguću granu?
4. U kojoj grani zaista smem da kvadriram?
5. Da li sam na kraju spojio grane unijom?
Najefikasniji redosled pisanja
Napiši domenu u prvom redu. Odmah ispod razdvoji slučajeve po znaku desne strane. Tek u sledećem redu kvadriraj odgovarajuću granu. Ovaj raspored deluje uredno i tebi i onome ko gleda rešenje.
\[\text{domena} \to \text{grane} \to \text{kvadriranje} \to \text{presek} \to \text{unija}\]
Nemoj juriti brži račun od boljeg uvida
Najčešće gubljenje vremena nastaje kada tri reda računa uradiš pogrešno, pa tek onda shvatiš da je cela grana bila nemoguća. Zato je pravilan prvi minut važniji od brzog drugog minuta.
Koristi rečenicu-vodilju
Prepiši sebi u glavi: koren je nenegativan, zato prvo gledam desnu stranu. To je dovoljno kratko da radi i kad koncentracija padne pred kraj testa.
Vežbe
Proveri sebe bez gledanja u vođene primere
Pokušaj prvo samostalno. Rešenje otvori tek kada jasno napišeš domenu i grane. Cilj nije samo konačan interval, nego uredan i logičan postupak.
Vežba 1
Reši \(\sqrt{x+2} \ge x\).
Rešenje
Domena je \(x\ge -2\).
Prva grana: \(x<0\). Tada je nejednačina automatski tačna na domeni, pa daje \([-2,0)\).
Druga grana: \(x\ge 0\). Kvadriranjem dobijaš \(x+2\ge x^2\), odnosno \(x^2-x-2\le 0\), pa \(x\in[-1,2]\). Presek sa \(x\ge 0\) daje \([0,2]\).
Konačno: \([-2,0)\cup[0,2]=[-2,2]\).
Vežba 2
Reši \(\sqrt{x+1} < x+1\).
Rešenje
Domena je \(x\ge -1\). Za znak \(<\) mora važiti \(x+1>0\), dakle \(x>-1\).
Kvadriranjem: \(x+1<(x+1)^2\). Neka je \(t=x+1>0\). Dobijaš \(t<t^2\), odnosno \(t(t-1)>0\). Pošto je \(t>0\), sledi \(t>1\).
Zato je \(x+1>1\), pa je rešenje \(x>0\).
Vežba 3
Reši \(\sqrt{2x+5} \le x+4\).
Rešenje
Domena je \(2x+5\ge 0\), pa \(x\ge -\frac{5}{2}\). Uslov \(x+4\ge 0\) je slabiji, jer je već ispunjen na toj domeni.
Kvadriranjem dobijaš \(2x+5\le (x+4)^2=x^2+8x+16\), pa \(x^2+6x+11\ge 0\).
Pošto je \(x^2+6x+11=(x+3)^2+2>0\) za svako realno \(x\), druga nejednačina je uvek tačna.
Zato je konačno rešenje cela domena: \(\left[-\frac{5}{2},\infty\right)\).
Vežba 4
Reši \(\sqrt{3-x} > 1\).
Rešenje
Domena je \(3-x\ge 0\), pa \(x\le 3\).
Pošto je desna strana pozitivna, nema potrebe za grananjem. Kvadriranjem dobijaš \(3-x>1\), odnosno \(x<2\).
Presek sa domenom daje \((-\infty,2)\).
Vežba 5
Reši \(\sqrt{x+5} \le 2-x\).
Rešenje
Domena: \(x\ge -5\). Pošto je znak \(\le\), mora važiti i \(2-x\ge 0\), tj. \(x\le 2\).
Kvadriranjem: \(x+5\le (2-x)^2=x^2-4x+4\), pa \(x^2-5x-1\ge 0\).
Nule su \(\frac{5\pm\sqrt{29}}{2}\), pa je rešenje kvadratne nejednačine \(x\le \frac{5-\sqrt{29}}{2}\) ili \(x\ge \frac{5+\sqrt{29}}{2}\).
Sa uslovom \(-5\le x\le 2\) ostaje \(\left[-5,\frac{5-\sqrt{29}}{2}\right]\).
Vežba 6
Objasni bez kompletnog računa zašto ne smeš odmah da kvadriraš \(\sqrt{x+1} < x-2\).
Rešenje
Zato što znak \(<\) zahteva da desna strana bude strogo pozitivna. Ako je \(x-2\le 0\), nejednačina je nemoguća, pa nema šta da se kvadrira. Tek kada izdvojiš granu \(x>2\), ima smisla preći na \(x+1<(x-2)^2\).
Ključni uvid
Iracionalna nejednačina se ne rešava jednim trikom, nego pravilnim grananjem
Ako pamtiš samo jednu rečenicu iz ove lekcije, neka bude: prvo znak desne strane, pa tek onda kvadriranje.
\[\sqrt{A(x)} \,\square\, B(x) \quad \Longrightarrow \quad \text{domena} + \text{znak } B(x) + \text{dozvoljena algebra}\]
Završni rezime
Šta obavezno nosiš iz ove lekcije
Kada zatvoriš ovu lekciju, cilj nije da znaš napamet deset obrazaca, već da imaš jednu stabilnu proceduru koja radi i u lakim i u teškim zadacima.
1. Domena ide prva
Kvadratni koren postoji samo kada je radikand nenegativan. Bez te prve linije nema smislenog rešenja.
2. Znak desne strane menja ceo zadatak
Za \(>\) i \(\ge\) negativna desna strana pomaže. Za \(<\) i \(\le\) negativna desna strana obično uklanja rešenja.
3. Kvadriranje dolazi tek u odgovarajućoj grani
Ne kvadriraš napamet. Najpre odlučiš u kojoj grani to smeš da uradiš, pa tek onda rešavaš kvadratnu nejednačinu.
4. Presek uslova unutar grane je obavezan
Rezultat dobijen posle kvadriranja nije konačan dok ga ne presečeš sa domenom i uslovom znaka desne strane.
5. Konačno rešenje je unija grana
Jedna grana može biti prazna, druga dati interval. Konačno rešenje dobijaš tek kada ih spojiš kako treba.
Sledeći korak
Vežbaj kratke zadatke sa što manje pisanja, ali bez preskakanja logike. Ako ovu proceduru usvojiš sada, bićeš mnogo sigurniji i kod logaritamskih nejednačina i kod težih parametarskih zadataka.