Kako iz jednačine čitaš elipsu i kako gradiš tangentne prave u najčešćim prijemnim situacijama.
Matoteka · Centar znanja · Lekcija 52
Elipsa i uslov dodira
Elipsa na prijemnom nije samo «ona kriva sa dva imenitelja». Moraš da umeš da pročitaš poluose, temena i žiže, ali i da prepoznaš kada prava dodiruje elipsu u jednoj jedinoj tački. Tu se spajaju geometrijska intuicija, diskriminanta i dobra kontrola formule.
Mešanje veličina a, b i c, kao i zaboravljanje da vertikalne tangente ne vidiš kroz y = kx + l.
Tangente paralelne datoj pravoj, tangenta u zadatoj tački i tangente kroz spoljašnju tačku.
75 do 95 minuta
Prava, kvadratne jednačine i diskriminanta
Prevedi uslov u familiju pravih i izjednači diskriminantu sa nulom
Canvas laboratorija elipse sa promenljivim poluosama i pravom
Brza navigacija
Kretanje kroz lekciju
Najstabilniji redosled je: zašto ova tema postoji, kako se nalazi modul i argument, kako se prelazi između oblika, pa tek onda Moivreova formula i koreni.
Zašto je ova lekcija važna
Elipsa tera učenika da spoji sliku, formulu i logiku jednog dodira
U ovoj lekciji više nije dovoljno da samo prepoznaš krivu. Moraš da vidiš kako je elipsa postavljena u ravni, gde su joj žiže, koliko je izdužena i šta znači da neka prava ima baš jednu zajedničku tačku sa njom. To je tip zadatka koji na prijemnom razdvaja učenika koji pamti od učenika koji razume.
Gde se ovo koristi kasnije
Elipsa je prirodan nastavak kružnice: i dalje radiš sa krivom drugog reda, ali sada imaš dve različite poluose i dve žiže. Time zadaci postaju bogatiji, a i uslov dodira dobija ozbiljniji oblik.
- U analitičkoj geometriji: prelaziš na hiperbolu i parabolu sa već izgrađenom rutinom za tangente.
- Na prijemnim zadacima: često se traži tangenta paralelna datoj pravoj ili tangente iz spoljašnje tačke.
- U kasnijoj matematici: jačaš osećaj za parametar, diskriminantu i izbor najefikasnijeg modela.
Šta prijemni zapravo proverava
Prijemni ne traži da mehanički napišeš \(c^2 = a^2 - b^2\). On proverava da li znaš šta su nepoznate i koja formula zaista odgovara datom uslovu. Zato je važno da razlikuješ tri standardna modela zadatka:
- Čitanje elipse: iz jednačine tražiš poluose, temena i žiže.
- Familija paralelnih pravih: zadržavaš nagib i tražiš odgovarajući odsečak.
- Prava kroz tačku: uvodiš nagib kao parametar, pa uslov dodira rešavaš po tom parametru.
Ključna poruka ove lekcije
Tangenta znači dvostruki presek. Kada to stvarno razumeš, formula za uslov dodira više nije nešto što učiš napamet, nego nešto što umeš da rekonstruišeš.
Mikro-provera: šta prvo proveravaš kada vidiš jednačinu elipse?
Prvo proveravaš koji imenilac je veći i uz koju promenljivu stoji. To ti govori duž koje ose je elipsa “duža”, pa tek onda smisleno čitaš poluose i položaj žiža.
Osnovna slika elipse
Elipsa je skup tačaka čiji je zbir rastojanja do dve žiže stalan
Geometrijska definicija elipse glasi: elipsa je skup svih tačaka M u ravni za koje je zbir rastojanja do dve fiksne tačke F₁ i F₂ konstantan. U standardnom položaju centra u koordinatnom početku ta definicija vodi do kanonske jednačine.
Intuicija i definicija
Ako su žiže \(F_1\) i \(F_2\), a konstanta jednaka \(2a\), onda za svaku tačku \(M(x,y)\) na elipsi važi:
\[MF_1 + MF_2 = 2a\]
Broj \(a\) je polovina velike ose. Zato je u standardnoj školskoj notaciji \(a\)vezano za “dužu” poluosu, dok je \(b\) kraća poluosa. Kada je velika osa horizontalna, kanonski oblik je:
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \qquad a>b>0\]
Iz ovog oblika odmah vidiš da elipsa seče \(x\)-osu u \((\pm a, 0)\), a \(y\)-osu u \((0, \pm b)\).
Šta čitaš iz jednačine
Kanonska jednačina ti ne daje samo krivu, nego i veoma konkretne podatke o njenom obliku:
- Velika osa: dužina je \(2a\).
- Mala osa: dužina je \(2b\).
- Temena velike ose: \((\pm a, 0)\).
- Temena male ose: \((0, \pm b)\).
\[\text{ako je } \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1, \quad a=5,\ b=3\]
Veći imenilac znači dalje dosezanje po odgovarajućoj osi. Zato se učenici često prevare kada samo “vide brojeve”, a ne povežu ih sa osama.
Vertikalna elipsa
Ako je umesto toga zapis \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\), velika osa je vertikalna. Ideja je ista, samo su uloge osa zamenjene.
Brzo čitanje
Iz \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\) čitaš \(a=4\), \(b=2\), pa su temena \((\pm 4,0)\) i \((0,\pm 2)\).
Šta skiciraš
Na margini nacrtaj koordinatni sistem i odmah obeleži \(\pm a\) i \(\pm b\). Mala skica sprečava pola tipičnih grešaka.
Elipsa nije kružnica
Kada su \(a\) i \(b\) različiti, ne postoji jedan jedinstveni poluprečnik. Upravo zato i uslov dodira izgleda drugačije nego kod kružnice.
Mikro-provera: zašto se u zapisu x²/9 + y²/25 = 1 velika osa nalazi na y-osi?
Zato što je veći imenilac ispod \(y^2\), pa elipsa može da dosegne dalje po \(y\)-smeru. Tu je duža poluosa jednaka \(5\), a kraća \(3\).
Žiže i ekscentricitet
Broj c meri koliko su žiže odmaknute od centra
Žiže daju elipsi njen pravi identitet. Što su žiže dalje od centra, elipsa je izduženija. Zato je veza između a, b i c jedan od osnovnih prijemnih alata.
Formula za žiže
Za standardni horizontalni oblik \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\), gde je \(a>b\), važi:
\[c^2 = a^2 - b^2\]
\[F_1(-c,\,0), \qquad F_2(c,\,0)\]
Ovo je jedna od najčešćih tačaka greške: neki učenici po navici napišu \(c^2 = a^2 + b^2\), mešajući elipsu sa Pitagorinom slikom u pogrešnom smeru. Za elipsu je uvek razlika kvadrata.
Ekscentricitet
Ekscentricitet pokazuje koliko je elipsa “spljoštena” ili “izdužena”. Definiše se kao:
\[e = \frac{c}{a}, \qquad 0 < e < 1\]
Ako je \(e\) mali, elipsa je bliska kružnici. Ako je \(e\) bliži jedinici, elipsa je izduženija. Na prijemnom se ovo često ne traži samostalno, ali pomaže da ne izgubiš geometrijski osećaj za sliku.
Kružnica kao poseban slučaj
Kada je \(a = b\), dobijaš kružnicu. Tada je \(c = 0\)i obe žiže “padaju” u centar.
Primer
Za \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\) važi \(c^2 = 25 - 9 = 16\), pa je \(c = 4\) i žiže su \((\pm 4,\,0)\).
Zašto je 2a važan
Za svaku tačku elipse zbir rastojanja do žiža ostaje isti i jednak je \(2a\). Zato je baš \(a\) vezan za veliku osu.
Kada odmah računaš c
Kad god zadatak pominje žiže, fokalno rastojanje ili ekscentricitet, prvo izračunaj \(c\). To obično otvara ostatak zadatka.
Mikro-provera: zašto za elipsu mora da važi 0 < e < 1?
Pošto je \(c^2 = a^2 - b^2\), sledi \(c < a\), pa je i \(\frac{c}{a} < 1\). Takođe je \(c > 0\) za pravu elipsu, pa je \(e\) između nule i jedinice.
Uslov dodira
Prava dodiruje elipsu kada sistem ima tačno jedno realno rešenje
Ako je prava sečica, sa elipsom ima dve zajedničke tačke. Ako je spoljašnja, nema nijednu. Tangenta je baš granični slučaj između ta dva položaja: sistem prava-elipsa ima jedno dvostruko rešenje. Zato je diskriminanta ovde prirodno oruđe.
Uslov dodira za y = kx + l
Za standardnu elipsu
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]
i pravu \(y = kx + l\), posle zamene dobijaš kvadratnu jednačinu po \(x\):
\[(b^2 + a^2 k^2)\,x^2 + 2a^2 k l\,x + a^2(l^2 - b^2) = 0\]
Tangenta znači \(\Delta = 0\), pa posle sređivanja dobijaš najvažniji obrazac lekcije:
\[l^2 = a^2 k^2 + b^2\]
Ovo je uslov dodira u standardnom koordinatnom položaju. Ako je poznat nagib \(k\), tražiš \(l\). Ako je prava zadata kroz tačku, tada je \(l\) izraz u kome se pojavljuje \(k\), pa dobijaš jednačinu za nagib.
Tangenta u poznatoj tački
Ako je \(P(x_0, y_0)\) tačka elipse, tangentna prava u toj tački glasi:
\[\frac{x x_0}{a^2}+\frac{y y_0}{b^2}=1\]
Ovo je izuzetno korisna formula jer preskače ceo račun sa diskriminantom kada je tačka dodira već poznata. Samo moraš proveriti da tačka zaista leži na elipsi.
- Za \(P(a,0)\) dobijaš \(x = a\), što je desna vertikalna tangenta.
- Za \(P(-a,0)\) dobijaš \(x = -a\).
- Za \(P(0,b)\) dobijaš \(y = b\), a za \(P(0,-b)\) dobijaš \(y = -b\).
Vertikalne tangente
Formula sa nagibom \(y = kx + l\) ne vidi vertikalne tangente. Zato je tangentna jednačina u tački važna i kao zaštita od grešaka.
Paralelne tangente
Ako su tangente paralelne datoj pravoj, zadržavaš \(k\), a menjaš samo \(l\). Uslov \(l^2 = a^2 k^2 + b^2\) tada odmah daje dve tangente.
Tangente kroz spoljašnju tačku
Kroz tačku \(A(x_1, y_1)\) pišeš pravu \(y = kx + (y_1 - kx_1)\). Zatim taj izraz za \(l\) ubacuješ u uslov dodira.
Broj tangenti
Spoljašnja tačka daje dve tangente, tačka na elipsi jednu, a unutrašnja tačka nijednu realnu tangentu.
Implicitni oblik prave
Ako zadatak daje pravu u implicitnom obliku, prvo proceni da li je zgodno prevesti je u \(y = kx + l\). Ako je prava vertikalna, radi odvojeno. Za standardnu elipsu jedine vertikalne tangente su \(x = \pm a\).
Mikro-provera: zašto uslov dodira daje dve prave kada je poznat samo nagib?
Zato što iz \(l^2 = a^2 k^2 + b^2\) sledi \(l = \pm\sqrt{a^2 k^2 + b^2}\). Geometrijski, to su dve međusobno paralelne tangente sa suprotnih strana elipse.
Interaktivni deo
Canvas laboratorija: menjaj elipsu i pravu i prati kada nastaje tangenta
U laboratoriji ispod menjaš poluose elipse i parametre prave y = kx + l. Posmatraj kako se menja broj presečnih tačaka i upoređuj vrednosti l² i a²k² + b². Kada su jednake, prava je tangenta.
Laboratorija radi sa jednačinom \(x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1\). Kada je \(a>b\), žiže su na \(x\)-osi; kada je \(b>a\), žiže su na \(y\)-osi.
Poluose elipse
Prava \(y = kx + l\)
Brzi preset položaji
Rezime trenutnog položaja
Elipsaa = 5, b = 3
Poređenjel² = 33.64
a²k²+b² = 34
a²k²+b² = 34
Kako da učiš iz ovog laboratorijuma
Pokušaj da sam pogodiš šta će se desiti kada pomeriš klizač. Hoće li prava promeniti položaj iz sečice u tangentu? Gde su žiže? Što češće eksperimentišeš, brže razvijaš intuiciju za elipsu.
Vođeni primeri
Korak po korak: čitanje elipse, žiža i tangentnih pravih
U sledećim primerima važan je redosled odluka: prvo prepoznaj tip zadatka, zatim izaberi najbolju formulu, pa tek onda računaj. To je prijemna disciplina koja štedi vreme i smanjuje greške.
Primer 1: pročitaj sve osnovne elemente elipse
Za elipsu \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\) odredi poluose, temena, žiže i ekscentricitet.
1
Pročitaj poluose
Iz imenilaca odmah vidiš:
\[a = 5, \qquad b = 3\]
2
Odredi temena
Pošto je veći imenilac ispod \(x^2\), velika osa je horizontalna. Zato su temena:
\[(\pm 5,\,0), \qquad (0,\,\pm 3)\]
3
Izračunaj žiže
\[c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4\]
\[F_1(-4,\,0), \qquad F_2(4,\,0)\]
4
Ekscentricitet
\[e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}\]
Zaključak: jedan kanonski zapis ti je dao i oblik elipse i sve njene ključne geometrijske elemente.
Primer 2: tangente paralelne datoj pravoj
Nađi jednačine tangenti elipse \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\) koje su paralelne pravoj \(2x - y + 5 = 0\).
1
Sačuvaj nagib
Data prava je \(y = 2x + 5\), pa sve paralelne tražene prave imaju oblik:
\[y = 2x + l\]
Ovde je \(k = 2\).
2
Pročitaj poluose elipse
\[a = 4, \qquad b = 3\]
3
Primeni uslov dodira
\[l^2 = a^2 k^2 + b^2 = 16 \cdot 4 + 9 = 73\]
\[l = \pm\sqrt{73}\]
4
Napiši obe tangente
\[y = 2x + \sqrt{73} \qquad \text{i} \qquad y = 2x - \sqrt{73}\]
Zaključak: kada je nagib poznat, zadatak je gotovo uvek kratak. Najčešća greška je gubljenje drugog znaka.
Primer 3: tangenta u poznatoj tački elipse
Nađi jednačinu tangente na elipsu \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\) u tački \(P\left(3,\,\frac{12}{5}\right)\).
1
Proveri da tačka leži na elipsi
\[\frac{3^2}{25}+\frac{\left(\frac{12}{5}\right)^2}{9}=\frac{9}{25}+\frac{144}{225}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1\]
2
Primeni tangentnu jednačinu u tački
\[\frac{x x_0}{a^2}+\frac{y y_0}{b^2}=1\]
\[\frac{3x}{25}+\frac{\frac{12}{5}\,y}{9}=1\]
3
Sredi jednačinu
\[\frac{3x}{25}+\frac{4y}{15}=1 \quad\Longrightarrow\quad 9x + 20y = 75\]
Zaključak: kada je tačka dodira poznata, formula \(\frac{x x_0}{a^2}+\frac{y y_0}{b^2}=1\) je najkraći i najsigurniji put.
Primer 4: tangente kroz spoljašnju tačku
Kroz tačku \(A(5,0)\) nađi tangente na elipsu \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\).
1
Napiši familiju pravih kroz zadatu tačku
Svaka prava kroz \(A(5,0)\) može da se zapiše kao:
\[y = k(x - 5) = kx - 5k\]
Ovde je \(l = -5k\).
2
Primeni uslov dodira
Za datu elipsu je \(a = 3\), \(b = 2\), pa:
\[l^2 = a^2 k^2 + b^2\]
\[(-5k)^2 = 9k^2 + 4\]
\[25k^2 = 9k^2 + 4 \Rightarrow 16k^2 = 4 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{4}\]
3
Dobij oba nagiba
\[k = \pm\frac{1}{2}\]
4
Napiši obe tangente
\[y = \frac{1}{2}(x - 5) \qquad \text{i} \qquad y = -\frac{1}{2}(x - 5)\]
Zaključak: u zadacima “kroz spoljašnju tačku” ne tražiš odmah tačke dodira, nego najpre nagib tangentnih pravih.
Ključne formule
Ovo su obrasci koje moraš znati da prepoznaš i objasniš
Svaka formula ispod ima svoju prirodnu situaciju. Uči je zajedno sa tipom zadatka u kome se pojavljuje, a ne kao izolovan zapis.
Elipsa u standardnom položaju
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]
Iz imenilaca čitaš poluose. Veći imenilac pokazuje dužu osu.
Veza između a, b i c
\[c^2 = a^2 - b^2\]
Za horizontalni standardni slučaj žiže su \(F_{1,2}(\pm c, 0)\). Za vertikalni se sele na \(y\)-osu.
Uslov dodira prave y = kx + l
\[l^2 = a^2 k^2 + b^2\]
Osnovni uslov dodira za standardnu elipsu i pravu zadatu preko nagiba i odsečka.
Tangenta u poznatoj tački
\[\frac{x x_0}{a^2}+\frac{y y_0}{b^2}=1\]
Najkraći način da napišeš tangentu u tački \(P(x_0, y_0)\) elipse.
Česte greške
Ovde se najčešće gube laki bodovi
Većina grešaka u ovoj lekciji nije teška matematika, nego loše čitanje slike ili pogrešan izbor formule. Zato ih treba videti unapred.
Mešanje \(a\), \(b\) i \(c\)
Najčešća greška je da se bez razmišljanja napiše \(c^2 = a^2 + b^2\). Za elipsu uvek važi razlika kvadrata, jer je \(c\) manji od \(a\).
Zaboravljen drugi znak
Kada iz uslova dodira dobiješ \(l^2 = \dots\), moraš napisati oba slučaja \(l = +\sqrt{\dots}\) i \(l = -\sqrt{\dots}\), osim ako zadatak dodatno ne suzi izbor.
Pogrešna tačka za tangentnu formulu
Formula \(\frac{x x_0}{a^2}+\frac{y y_0}{b^2}=1\) važi samo ako je \(P(x_0, y_0)\) tačka elipse. Uvek kratko proveri uvrštavanjem.
Ignorisanje vertikalnih tangenti
Ako slepo tražiš samo prave oblika \(y = kx + l\), možeš prevideti \(x = a\) i \(x = -a\). To je tipična ispitna zamka kada se traže sve tangente.
Veza sa prijemnim zadacima
Kako se ova tema realno pojavljuje na ispitu
Na prijemnom zadatke sa elipsom retko dobijaš kao čistu teoriju. Gotovo uvek su upakovani u pitanje o tangenti, parametru ili spoljašnjoj tački. Zato ti treba brza strategija pre nego što krene račun.
Tip 1: pročitaj elipsu i izvedi geometriju
Traže se poluose, žiže, ekscentricitet ili temena. Ovakvi zadaci deluju laki, ali su opasni zbog mešanja osa i pogrešnog čitanja većeg imenioca.
Tip 2: tangente paralelne zadatoj pravoj
Najkraći put: napišeš familiju \(y = kx + l\), zadržiš nagib i iz uslova dodira dobiješ dve vrednosti za \(l\).
Tip 3: tangente iz spoljašnje tačke
Kroz zadatu tačku formiraš pravu sa nepoznatim nagibom. Zatim uslov dodira pretvara zadatak u jednačinu po \(k\).
Tip 4: kombinacija sa prethodnom lekcijom o pravoj
Često moraš prvo prevesti pravu iz implicitnog oblika u eksplicitni ili obrnuto. Znanje iz lekcije 50 ovde direktno radi za tebe.
Ispitna rutina u 4 koraka
1. Iz jednačine prvo pročitaj poluose i položaj velike ose.
2. Odmah odluči da li zadatak traži čitanje elementa elipse, tangentu u tački ili tangente iz familije pravih.
3. Ako je prava u obliku \(y = kx + l\), koristi uslov dodira. Ako je tačka dodira poznata, koristi tangentnu jednačinu u tački.
4. Na kraju proveri da li postoji još jedno rešenje sa drugim znakom ili poseban vertikalni slučaj.
Vežbe na kraju
Proveri da li možeš samostalno da vodiš ceo postupak
Reši zadatke bez gledanja u primere, pa tek onda otvori rešenja. Cilj nije da prepišeš formulu, nego da proveriš da li znaš kad koju formulu koristiš.
Vežba 1
Za elipsu \(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1\) odredi poluose, žiže i ekscentricitet.
Rešenje
\[a = 6, \qquad b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]
\[c^2 = 36 - 20 = 16 \Rightarrow c = 4\]
\[F_1(-4,\,0),\quad F_2(4,\,0),\quad e = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Vežba 2
Nađi tangente elipse \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\) koje su paralelne pravoj \(y = 3x\).
Rešenje
\[y = 3x + l, \qquad l^2 = 25 \cdot 9 + 16 = 241\]
\[l = \pm\sqrt{241}\]
\[y = 3x + \sqrt{241}, \qquad y = 3x - \sqrt{241}\]
Vežba 3
Napiši tangentnu jednačinu elipse \(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\) u tački \(P\left(\frac{5}{2},\,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\).
Rešenje
\[\frac{x \cdot \frac{5}{2}}{25}+\frac{y \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}}{9}=1\]
\[\frac{x}{10}+\frac{\sqrt{3}\,y}{6}=1\]
\[3x + 5\sqrt{3}\,y = 30\]
Vežba 4
Kroz tačku \(A(6,0)\) nađi tangente na elipsu \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\).
Rešenje
\[y = k(x - 6) = kx - 6k\]
\[(-6k)^2 = 16k^2 + 4\]
\[36k^2 = 16k^2 + 4 \Rightarrow 20k^2 = 4 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{5}\]
\[k = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}\]
\[y = \frac{1}{\sqrt{5}}(x - 6), \qquad y = -\frac{1}{\sqrt{5}}(x - 6)\]
Vežba 5
Da li iz tačke \(A(1,1)\) postoje realne tangente na elipsu \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)?
Rešenje
Proveri položaj tačke u odnosu na elipsu:
\[\frac{1^2}{9}+\frac{1^2}{4}=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}=\frac{13}{36} < 1\]
Tačka je unutar elipse, pa kroz nju ne mogu da se povuku realne tangente. Zaključak: nema realnih tangenti.
Završni uvid
Najvažniji misaoni obrazac: tangenta je granica između dva preseka i nijednog preseka
Ako ovu jednu ideju zapamtiš kako treba, moći ćeš i sam da obnoviš većinu formule. Kada prava dodiruje elipsu, sistem ne sme dati dva različita preseka. Zato je diskriminanta nula, a zato i nastaje uslov dodira. Formula dolazi iz ideje, ne obrnuto.
Ključni princip
Uslov dodira nije izolovan trik, nego posledica jedne jasne geometrijske ideje: tangenta je položaj prave u kome diskriminanta sistema iznosi nula.
Završni rezime
Šta moraš da poneseš iz ove lekcije
1. Čitanje elipse
Iz kanonske jednačine čitaš poluose i odmah zaključuješ duž koje ose je elipsa duža.
2. Žiže
Za standardni horizontalni slučaj važi \(c^2 = a^2 - b^2\), pa su žiže na \(x\)-osi.
3. Uslov dodira
Za pravu \(y = kx + l\) i elipsu \(x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1\) tangenta nastaje kada je \(l^2 = a^2 k^2 + b^2\).
4. Izbor metode
Kada znaš tačku dodira koristi tangentnu jednačinu u tački; kada znaš familiju pravih koristi uslov dodira.