Kako da sabiraš i oduzimaš uglove unutar sinusa, kosinusa i tangensa, pa iz toga dobiješ i posebne vrednosti i kraće dokaze.
Matoteka · Centar znanja · Lekcija 35
Adicioni teoremi
Ovo je lekcija u kojoj trigonometrija prelazi iz pukog čitanja vrednosti u pravo računanje sa uglovima. Adicioni teoremi ti omogućavaju da rastaviš težak ugao na dva lakša, da izvedeš specijalne vrednosti bez tablice i da u dugačkom izrazu prepoznaš skriven obrazac koji vodi do kratkog rešenja.
Učenici često zapamte samo jednu formulu, a onda pogreše znak kod kosinusa ili znak u imeniocu tangensa.
Zadaci često traže sin 75°, cos 15°, tg 105°, ali i prepoznavanje izraza kao što je sin x cos y + cos x sin y.
70 do 95 minuta ako prođeš i geometrijsku intuiciju i prijemne primere.
Trigonometrijska kružnica, znaci po kvadrantima i svođenje na prvi kvadrant.
Rastavljanje složenog ugla na jednostavnije delove i prepoznavanje obrasca unazad.
Canvas laboratorija za zbir i razliku uglova sa numeričkom proverom formula.
Brza navigacija
Kretanje kroz lekciju
Najstabilniji redosled je: zašto ova tema postoji, kako se nalazi modul i argument, kako se prelazi između oblika, pa tek onda Moivreova formula i koreni.
Zašto je ova lekcija važna
Adicioni teoremi su motor cele ozbiljne trigonometrije
Do sada si uglavnom čitao vrednosti sa kružnice ili svodio ugao na prvi kvadrant. Sada dobijaš alat koji pravi sledeći veliki korak: omogućava ti da ugao rastaviš, da dokažeš nove identitete i da izvedeš formule koje dolaze u narednim lekcijama.
Za naredne lekcije
Formule dvostrukog ugla, polovine ugla i transformacije zbira u proizvod nastaju upravo iz adicionih teorema.
Za prijemni
Kada se traži tačna vrednost nezgodnog ugla, adicioni teoremi često daju najkraći put do rezultata.
Za dokaze
Mnogo identiteta izgleda komplikovano samo dok ne uočiš da je u pitanju skrivena formula za zbir ili razliku uglova.
\[\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ),\qquad \cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ)\]
Mikro-provera: zašto ova lekcija prirodno vodi ka dvostrukom uglu?
Zato što u adicione formule možeš da postaviš \(\beta = \alpha\). Tada iz \(\sin(\alpha+\beta)\) dobijaš \(\sin 2\alpha\), a iz \(\cos(\alpha+\beta)\) dobijaš \(\cos 2\alpha\). Dakle, lekcija 36 je direktan nastavak ove.
Intuitivno tumačenje
Zbir uglova znači dve uzastopne rotacije, ne samo dve brojke koje sabiraš
Najbolji način da razumeš adicione teoreme jeste da na ugao gledaš kao na rotaciju. Prvo napraviš rotaciju za \u03B1, pa zatim na već rotiran položaj dodaš još \u03B2. Konačni položaj je upravo ugao \u03B1+\u03B2.
Geometrijska slika
Tačka na jediničnoj kružnici koja odgovara uglu \(\alpha\) ima koordinate \((\cos\alpha,\sin\alpha)\). Kada se ta tačka još jednom rotira za ugao \(\beta\), dobijaš novu tačku za ugao \(\alpha+\beta\).
Šta ne treba raditi
Nije dobro da formule učiš kao četiri nepovezane rečenice. Mnogo je sigurnije da znaš priču o rotaciji i da zatim formule čitaš kao zapis te priče.
\[\begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta) \\ \sin(\alpha+\beta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta \\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}\]
\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]
\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\]
Mikro-provera: zašto je baš minus u formuli za kosinus zbira?
Zato što pri rotaciji horizontalna komponenta nove tačke nastaje kao razlika dva doprinosa: deo starog \(x\)-pravca koji ostaje na \(x\)-osi i deo koji zbog rotacije prelazi iz \(y\)-pravca na suprotnu stranu. Zato se u formuli za kosinus javlja minus, dok sinus sabira doprinose.
Glavne formule
Šta zaista moraš da znaš sigurno
Sledeće formule su osnova. Njih ne treba znati napamet bez smisla, ali ih moraš znati stabilno i bez oklevanja, jer se na prijemnom vreme gubi upravo na nesigurnom prisećanju znaka.
Sinus zbira i razlike
\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\]
Sinus prati znak između uglova. Ako je unutra plus, plus je i između članova. Ako je unutra minus, minus ostaje i između članova.
Kosinus zbira i razlike
\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]
Kosinus menja znak između članova. Zbog toga je najčešća greška da učenik kod kosinusa zadrži isti znak kao u zagradi.
Tangens zbira i razlike
\[\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}\]
Brojnik prati znak kao kod sinusa, a imenilac ga menja. Ovo je korisno pravilo za pamćenje, ali uz obaveznu proveru da izraz ima smisla.
Kako nastaje tangens
\[\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\]
Ako podeliš brojilac i imenilac sa cos \u03B1 cos \u03B2, dobijaš standardnu formulu za tangens zbira. Zato ona nije nova magična formula, već posledica prethodnih.
Pravilo za pamćenje
Sinus prati znak, kosinus ga menja, tangens ga prati u brojniku i menja u imeniocu. Ovo nije dokaz, ali je vrlo korisna mentalna skela pod pritiskom vremena.
Uslov kod tangensa
Kada koristiš formulu za tangens, proveri da li su i \(\operatorname{tg}\alpha\) i \(\operatorname{tg}\beta\) definisani i da li imenilac nije nula.
Mikro-provera: kako da bez gledanja obnoviš formulu za cos(\u03B1\u2212\u03B2)?
Kreneš od rečenice: kosinus menja znak. Pošto je unutra minus, između članova će biti plus. Zato:
\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]
Vođeni primeri
Ovde se formula pretvara u stvaran alat
Na prijemnom nije dovoljno da kažeš „znam formulu“. Moraš umeti da izabereš dobar rastav ugla, da vodiš računa o znakovima i da vidiš kada izraz treba čitati obrnuto. Sledeći primeri prate upravo taj tok razmišljanja.
Primer 1: Izračunaj \(\sin 75^\circ\)
1
Rastavi ugao.
Pišemo \(75^\circ = 45^\circ + 30^\circ\).
2
Primeni formulu za sinus zbira.
\[\sin 75^\circ = \sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ\]
3
Ubaci standardne vrednosti.
\[= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\]
Poenta: nezgodan ugao si razbio na dve vrednosti koje znaš napamet.
Primer 2: Izračunaj \(\cos 15^\circ\)
1
Zapiši rastav.
Pišemo \(15^\circ = 45^\circ - 30^\circ\).
2
Primeni formulu za kosinus razlike.
Obrati pažnju: kod kosinusa razlike između članova je plus.
\[\cos 15^\circ = \cos 45^\circ\cos 30^\circ + \sin 45^\circ\sin 30^\circ\]
3
Izračunaj.
\[= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\]
Zanimljivo: dobili smo istu vrednost kao u prvom primeru jer važi \(\sin 75^\circ = \cos 15^\circ\).
Primer 3: Izračunaj \(\operatorname{tg}105^\circ\)
1
Rastavi ugao.
Pišemo \(105^\circ = 60^\circ + 45^\circ\).
2
Primeni formulu za tangens zbira.
\[\operatorname{tg}105^\circ = \frac{\operatorname{tg}60^\circ+\operatorname{tg}45^\circ}{1-\operatorname{tg}60^\circ\operatorname{tg}45^\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}\]
3
Pažljivo izračunaj: racionalizuj imenilac.
\[= \frac{(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{4+2\sqrt{3}}{-2} = -2-\sqrt{3}\]
Poenta: ovo je tipičan prijemni primer gde samo formula nije dovoljna; treba i dobra algebra.
Primer 4: Pojednostavi \(\sin x \cos y + \cos x \sin y\)
1
Ne pokušavaj da širiš izraz.
Gledaj ga unazad i uporedi sa formulom za sinus zbira.
2
Prepoznaj obrazac.
Redosled članova je isti kao u obrascu za \(\sin(x+y)\).
\[\sin x \cos y + \cos x \sin y = \sin(x+y)\]
Poenta: na prijemnom ova sposobnost prepoznavanja obrasca često štedi više vremena nego samo računanje vrednosti.
Primer 5: Pojednostavi \(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta\)
1
Čitaj izraz unazad.
Pošto između proizvoda stoji plus, to odgovara formuli za kosinus razlike. Važno je da ne pomešaš sa kosinusom zbira, gde bi bio minus.
2
Zaključak.
\[\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)\]
Poenta: ovo je jedna od najvažnijih formula za dokazivanje drugih identiteta.
Primer 6: Dokaži da je \(\sin 75^\circ\cos 15^\circ+\cos 75^\circ\sin 15^\circ=1\)
1
Prepoznaj obrazac za sinus zbira.
Ovde igraju uloge \(x=75^\circ\) i \(y=15^\circ\).
2
Zbir je 90\u00B0.
\[\sin 75^\circ\cos 15^\circ+\cos 75^\circ\sin 15^\circ = \sin(75^\circ+15^\circ) = \sin 90^\circ = 1\]
Poenta: najlepši prijemni trik -- umesto dugog računa, uoči strukturu i zatvori zadatak u jednoj liniji.
Obrasci i čitanje unazad
Najjači deo lekcije često nije računanje, nego prepoznavanje
U mnogim zadacima neće ti pisati sin(\u03B1+\u03B2), nego upravo razvijen izraz. Tvoj posao je tada da prepoznaš šta taj izraz zapravo predstavlja. Zato ove obrasce treba videti i unapred i unazad.
Sinus zbira
\[\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)\]
Koristi kada u zadatku vidiš „unakrsni“ zbir sinusa i kosinusa.
Sinus razlike
\[\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha-\beta)\]
Minus se javlja između unakrsnih proizvoda. Ovo je bitan detalj kod dokazivanja identiteta.
Kosinus zbira
\[\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha+\beta)\]
Ako vidiš „isti sa istim“ i između njih minus, vrlo verovatno je u pitanju kosinus zbira.
Kosinus razlike
\[\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)\]
Ovo je standardni obrazac u prijemnim zadacima gde se dugi izrazi svode na jedan kosinus.
Mikro-provera: kako najbrže razlikovati da li je u pitanju sinus ili kosinus?
Gledaj raspored članova. Ako je izraz „unakrstan“, tipa \(\sin\alpha\cos\beta\) i \(\cos\alpha\sin\beta\), misli na sinus. Ako je izraz „isti sa istim“, tipa \(\cos\alpha\cos\beta\) i \(\sin\alpha\sin\beta\), misli na kosinus.
Česte greške
Ovde se najčešće gube poeni
Adicioni teoremi nisu konceptualno nedostižni, ali su osetljivi na znakove. Zbog toga je dobro da unapred znaš koje greške najčešće prave i solidni učenici.
Kosinus dobije pogrešan znak
Tipična greška je \(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\). To je pogrešno; kod kosinusa zbira mora stajati minus.
Tangens ima dobar brojnik, ali loš imenilac
Učenik zapamti \(\operatorname{tg}\alpha \pm \operatorname{tg}\beta\), ali zaboravi da se u imeniocu znak menja.
Formula se koristi i kad nema smisla
Ako \(\operatorname{tg}\alpha\) ili \(\operatorname{tg}\beta\) nisu definisani, ne možeš mehanički ubaciti vrednosti u formulu za tangens.
Izraz se širi, a ne prepoznaje
Umesto da uoči \(\sin x\cos y+\cos x\sin y=\sin(x+y)\), učenik kreće u nepotreban račun sa pojedinačnim vrednostima.
Izabran je loš rastav ugla
Na primer, za \(75^\circ\) učenik traži komplikovan rastav, iako je \(45^\circ+30^\circ\) prirodan i vodi direktno na standardne vrednosti.
Zaboravljena veza sa prethodnom lekcijom
Ponekad i posle adicione formule moraš još da svedeš neki ugao na prvi kvadrant ili da proveriš znak. Ove lekcije rade zajedno, ne odvojeno.
Veza sa prijemnim zadacima
Kako se adicioni teoremi pojavljuju u realnim zadacima
Na prijemnom se adicioni teoremi retko pojavljuju kao „napiši formulu“. Mnogo češće su sakriveni u računu, u dokazu ili u zahtevu da nađeš tačnu vrednost nezgodnog ugla.
Tip 1: tačna vrednost
Zadaci poput \(\sin 75^\circ\), \(\cos 15^\circ\) i \(\operatorname{tg}105^\circ\) proveravaju da li umeš da izabereš dobar rastav ugla.
Tip 2: dokaz identiteta
Dugi izraz se često skupi u jednu funkciju ako u njemu prepoznaš obrazac za zbir ili razliku uglova.
Tip 3: most ka narednim formulama
Od tebe se može tražiti da izvedeš formulu za \(\sin 2\alpha\) ili \(\cos 2\alpha\). To je direktna primena ove lekcije sa \(\beta=\alpha\).
Tip 4: kombinacija sa svođenjem
Nije retko da najpre rastaviš ugao, a zatim deo rezultata dodatno svedeš na prvi kvadrant. Zato nije dovoljno znati samo jednu lekciju izolovano.
Prijemni ček-lista
\[\text{mogu li da rastavim ugao?} \rightarrow \text{koja formula ide?} \rightarrow \text{da li znak ima smisla?} \rightarrow \text{mogu li izraz da pročitam unazad?}\]
Vežbe na kraju
Vežbe za proveru razumevanja, ne samo pamćenja
Rešavaj redom. Prve vežbe proveravaju osnovnu upotrebu formula, a kasnije traže da prepoznaš obrazac ili da formulu koristiš kao alat za dokazivanje.
Vežba 1
Izračunaj \(\sin 15^\circ\).
Rešenje
Pišemo \(15^\circ = 45^\circ - 30^\circ\) i koristimo sinus razlike.
\[\sin 15^\circ = \sin 45^\circ\cos 30^\circ - \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\]
Vežba 2
Izračunaj \(\cos 75^\circ\).
Rešenje
Koristi \(75^\circ = 45^\circ + 30^\circ\) i formulu za kosinus zbira.
\[\cos 75^\circ = \cos 45^\circ\cos 30^\circ - \sin 45^\circ\sin 30^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\]
Vežba 3
Pojednostavi \(\cos x \cos y - \sin x \sin y\).
Rešenje
To je obrazac za kosinus zbira.
\[\cos x \cos y - \sin x \sin y = \cos(x+y)\]
Vežba 4
Pokaži da je \(\sin(x+y)-\sin x \cos y=\cos x \sin y\).
Rešenje
Razvijemo \(\sin(x+y)\) po adicionoj formuli:
\[\sin(x+y)=\sin x \cos y + \cos x \sin y\]
Oduzimanjem \(\sin x \cos y\) sa obe strane dobijamo:
\[\sin(x+y)-\sin x \cos y=\cos x \sin y\]
Vežba 5
Izračunaj \(\operatorname{tg}15^\circ\).
Rešenje
Pišemo \(15^\circ = 45^\circ - 30^\circ\).
\[\operatorname{tg}15^\circ = \frac{\operatorname{tg}45^\circ-\operatorname{tg}30^\circ}{1+\operatorname{tg}45^\circ\operatorname{tg}30^\circ} = \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}} = 2-\sqrt{3}\]
Vežba 6
Svedi \(\sin x \cos x + \cos x \sin x\).
Rešenje
Izraz je dvaput isti član, ali još bolje je da ga pročitaš kao sinus zbira sa \(y=x\).
\[\sin x \cos x + \cos x \sin x = \sin(x+x)=\sin 2x\]
Vežba 7
Ako su \(\alpha\) i \(\beta\) oštri uglovi, \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\) i \(\cos\beta=\frac{12}{13}\), izračunaj \(\sin(\alpha+\beta)\).
Rešenje
Pošto su uglovi oštri, odgovarajući kosinus i sinus su pozitivni.
\[\cos\alpha=\frac{4}{5},\qquad \sin\beta=\frac{5}{13}\]
\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta = \frac{3}{5}\cdot\frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13} = \frac{56}{65}\]
Vežba 8
Izvedi formulu za \(\cos 2x\) iz adicionog teorema.
Rešenje
U formuli za kosinus zbira stavi \(\alpha=x\) i \(\beta=x\).
\[\cos 2x=\cos(x+x)=\cos^2 x-\sin^2 x\]
Ovo je upravo veza između ove lekcije i sledeće.
Završni uvid
Adicioni teoremi su mnogo više od četiri formule
Oni su način da ugao rastaviš, izraz prepoznaš i problem skratiš.
Glavna poruka
Kad god vidiš nezgodan ugao, pitaj se da li možeš da ga razbiješ na dva poznata. Kad god vidiš dug trigonometrijski izraz, pitaj se da li možeš da ga pročitaš unazad kao zbir ili razliku uglova. Ta dva pitanja čine srce ove lekcije.
Prva misao
Koji rastav ugla na poznate uglove najviše pojednostavljuje račun?
Druga misao
Da li znak u formuli za sinus, kosinus ili tangens ima smisla?
Treća misao
Može li se razvijen izraz prepoznati kao gotov adicioni obrazac?
Završni rezime
Šta moraš da poneseš iz ove lekcije
1. Sinus prati znak
\(\sin(\alpha+\beta)\) ima plus između članova, a \(\sin(\alpha-\beta)\) minus.
2. Kosinus menja znak
Kod kosinusa zbira stoji minus, a kod kosinusa razlike plus. To je najvažnija sitnica za sigurnost u računu.
3. Tangens se izvodi iz sinusa i kosinusa
Ne uči ga kao izolovanu formulu. Tako ćeš lakše proveriti i znak i uslove definisanosti.
4. Obrazac moraš videti i unazad
Na prijemnom se često ne traži samo računanje, već i prepoznavanje da je dug izraz zapravo \(\sin(\alpha+\beta)\) ili \(\cos(\alpha-\beta)\).
\[\boxed{\text{rastav ugla} \rightarrow \text{izbor formule} \rightarrow \text{tačne vrednosti ili prepoznavanje obrasca}}\]
Šta je sledeći logičan korak u učenju?
Sledeća lekcija o dvostrukom i polovini ugla postaće mnogo prirodnija ako ovu znaš sigurno. Tada više nećeš učiti nove formule napamet, već ćeš ih videti kao posebne slučajeve adicionih teorema.