schoolMašinski fakultet·2021·Zadatak #2

Zbir ekstrema kvadratne funkcije na segmentu

Analiza kvadratne funkcije — nalaženje najveće i najmanje vrednosti na zatvorenom intervalu

Postavka zadatka

Zbir najveće i najmanje vrednosti funkcije \(f(x) = -x^2 + 6x + 5\) na segmentu \([2,\, 5]\) jednak je:

Ponuđeni odgovori

Plan rešavanja

Svešćemo funkciju na kanonski oblik \(f(x) = -(x-3)^2 + 14\) da nađemo teme parabole. Zatim ćemo proveriti vrednosti u temenu i na krajevima segmenta \([2, 5]\), odrediti maksimum i minimum, i sabrati ih.

Ključne formule i teoreme
  • >Kanonski oblik kvadratne funkcije: \(f(x) = a(x - p)^2 + q\), gde je \(T(p, q)\) teme parabole, a \(p = -\dfrac{b}{2a}\), \(q = f(p)\).
  • >Smer parabole: Ako je \(a < 0\), parabola je okrenuta nadole — ima maksimum u temenu. Ako je \(a > 0\), parabola je okrenuta nagore — ima minimum u temenu.
  • >Ekstremi na zatvorenom segmentu: Za neprekidnu funkciju na \([a, b]\), ekstremne vrednosti se nalaze ili u stacionarnim tačkama unutar intervala ili na krajevima segmenta.
  • >Kompletiranje kvadrata:
    \[ax^2 + bx + c = a\!\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 + c - \dfrac{b^2}{4a}\]

Grafik funkcije na segmentu \([2,\, 5]\)

Prevucite ljubičastu tačku po paraboli da vidite vrednosti funkcije

Rešenje korak po korak

1

Odredimo koeficijente

Funkcija \(f(x) = -x^2 + 6x + 5\) je kvadratna funkcija oblika \(ax^2 + bx + c\).

\[a = -1, \quad b = 6, \quad c = 5\]

Pošto je \(a = -1 < 0\), parabola je okrenuta nadole, što znači da funkcija ima maksimum u temenu.

2

Nađimo teme parabole

Koordinata \(x\) temena:

\[x_T = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3\]

Koordinata \(y\) temena (izračunamo \(f(3)\)):

\[f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 + 5 = -9 + 18 + 5 = 14\]

Teme parabole je \(T(3,\, 14)\).

Alternativno, kompletiranjem kvadrata:

\[f(x) = -(x^2 - 6x) + 5 = -(x-3)^2 + 9 + 5 = -(x-3)^2 + 14\]
Proveri sebe: Da li teme pripada segmentu [2, 5]?
Da! \(x_T = 3 \in [2, 5]\), tako da se maksimum funkcije dostiže upravo u temenu.
3

Izračunajmo vrednosti na krajevima segmenta

Levi kraj, \(x = 2\):

\[f(2) = -(2)^2 + 6 \cdot 2 + 5 = -4 + 12 + 5 = 13\]

Desni kraj, \(x = 5\):

\[f(5) = -(5)^2 + 6 \cdot 5 + 5 = -25 + 30 + 5 = 10\]
4

Odredimo najveću i najmanju vrednost

Uporedimo sve izračunate vrednosti:

\[f(2) = 13, \quad f(3) = 14, \quad f(5) = 10\]

Najveća vrednost: \(f_{\max} = f(3) = 14\) (u temenu parabole).

Najmanja vrednost: \(f_{\min} = f(5) = 10\) (na desnom kraju segmenta).

Na levom kraju \(f(2) = 13\) nije ni max ni min, ali je između krajnjih vrednosti.

Proveri sebe: Zašto minimum nije u x = 2?
Zato što je \(f(2) = 13 > 10 = f(5)\). Tačka \(x = 5\) je udaljenija od temena (\(|5-3| = 2 > |2-3| = 1\)), pa je vrednost funkcije manja u \(x = 5\).
5

Izračunajmo traženi zbir

\[f_{\max} + f_{\min} = 14 + 10 = 24\]

Ključni uvid

Kod parabole okrenute nadole, maksimum je uvek u temenu (ako teme pripada intervalu), a minimum se traži na krajevima — i to na onom kraju koji je udaljeniji od temena.

\[f_{\max} + f_{\min} = 14 + 10 = 24\]

Konačan odgovor

\(24\)
(A)
\(0\)
(B)
\(22\)
(C)
\(23\)
(D)
\(24\)
(E)
\(25\)
Verifikacija: Rezultat ima smisla jer je zbir jedne vrednosti blizu 14 (maksimum) i jedne blizu 10 (minimum), što daje 24. Dodatno, \(f(2) + f(5) = 13 + 10 = 23 \neq 24\), ali \(f(3) + f(5) = 14 + 10 = 24\), što potvrđuje da je maksimum baš u temenu, ne na kraju segmenta.

Česte greške

  • !Sabiranje vrednosti na krajevima umesto ekstrema: Mnogi studenti saberu \(f(2) + f(5) = 13 + 10 = 23\), zaboravljajući da provere vrednost u temenu parabole. Zato je ponuđen i odgovor (C) 23 kao zamka.
  • !Zaboravljanje da se proveri da li teme pripada segmentu: Da je teme bilo van segmenta \([2, 5]\), oba ekstrema bi se nalazila na krajevima. Uvek proverite položaj temena u odnosu na segment!

Dodatni izazov

Za koju vrednost parametra \(k\) je zbir najveće i najmanje vrednosti funkcije \(f(x) = -x^2 + 6x + 5\) na segmentu \([k,\, 5]\) jednak \(25\)?

Pogledaj nagoveštaj
Maksimum je i dalje 14 (dok god je \(k \leq 3\)). Dakle, minimum treba da bude 11. Na koji način vrednost \(f(k)\) može biti 11? Rešite jednačinu \(-k^2 + 6k + 5 = 11\).
auto_stories

Registruj se besplatno

Pristupi kompletnoj bazi od 5000+ zadataka sa prijemnih ispita, rešenih korak po korak — sa interaktivnim graficima, AI tutorom i simulacijama ispita.

loginZapočni besplatno

Bez kreditne kartice. Bez skrivenih troškova.